In each of Problems 25 through 31 find an integrating factor and solve the given equation.
d x+(x / y-sin y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dx + l(tfracxy-sin yr),dy = 0
e pede para achar um fator integrante e resolver. O conteúdo envolvido é reconhecer uma forma não exata M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, testar exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante que dependa só de y ou só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=1, N(x,y)=xy-sin y
Calculamos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=1y
Como partial N/partial x-partial M/partial y = 1/y depende só de y, existe um fator integrante mu(y).

Passo 3

Para ter exatidão precisamos
mu(y)l(M,dx+N,dyr)=0
ser exata. O fator mu(y) satisfaz
dlnmudy =partial N/partial x-partial M/partial yM =1/y1 =1y
Logo
lnmu(y)=integral1y,dy=ln|y| Longrightarrow mu(y)=y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y:
y,dx + l(x - ysin yr),dy = 0
Definimos
widetilde M(x,y)=y, widetilde N(x,y)=x - ysin y
Verificamos
partial widetilde Mpartial y=1, partial widetilde Npartial x=1,
ou seja, agora é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =widetilde M(x,y)=y
Integrando em x:
psi(x,y)=integral y,dx = x y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Então
partialpsipartial y = x + h'(y)
deve ser igual a widetilde N(x,y)=x - ysin y. Assim
h'(y)=-,ysin y

Passo 6

Integramos
h(y)=integral -,ysin y,dy
Fazendo integração por partes ( u=-y, dv=sin y,dy) obtemos
h(y)=ycos y - sin y
(ignora-se constante porque virá da solução geral). Logo
psi(x,y)=x y + ycos y - sin y

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
x y + ycos y - sin y = C,
onde C é constante arbitrária.

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