In each of Problems 25 through 31 find an integrating factor and solve the given equation.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para achar um fator integrante e resolver. O conteúdo envolvido é reconhecer uma forma não exata
, testar exatidão e, se não for exata, encontrar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
depende só de
, existe um fator integrante
.
Passo 3
Para ter exatidão precisamos
ser exata. O fator
satisfaz
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Definimos
Verificamos
ou seja, agora é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
onde
é função a determinar. Então
deve ser igual a
. Assim
Passo 6
Integramos
Fazendo integração por partes (
,
) obtemos
(ignora-se constante porque virá da solução geral). Logo
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.