Usando coordenadas esféricas, determine o volume:
- do sólido que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está acima do plano
e dentro da esfera de raio
,
. Vamos usar coordenadas esféricas, onde
e o elemento de volume é
Passo 2
Precisamos traduzir as fronteiras em esféricas:
- A esfera dá
. - O plano exige
, ou seja . - Para que
seja possível, requer , isto é . -
varia de a .
Portanto
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Assim
Passo 4
Agora separamos o integral em dois termos:
Para o primeiro
Para o segundo, use
,
:
Multiplicando, o segundo termo vale
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E por fim