Usando coordenadas esféricas, determine o volume:
  • do sólido que está acima do plano z=2 raiz3 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=16.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está acima do plano z=2raiz3 e dentro da esfera de raio 4, x^2+y^2+z^2=16. Vamos usar coordenadas esféricas, onde
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Precisamos traduzir as fronteiras em esféricas:
  1. A esfera dá rho<=4.
  2. O plano exige z=rhocosphi>=2raiz3, ou seja rho>=2raiz3cosphi.
  3. Para que tfrac2raiz3cosphi<=4 seja possível, requer cosphi>=2raiz34=raiz32, isto é phi<=pi6.
  4. theta varia de 0 a 2pi.
    Portanto
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/6integralrho=2raiz3cosphi^4rho^2sinphi;drho;dphi;dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em rho:
integralrho=2raiz3cosphi^4rho^2,drho =[rho^33]rho=2raiz3cosphi^4 =643-13l(2raiz3cosphir)^3 =643-24raiz33cos^3phi
Assim
V =integral0^2pidthetaintegral0^pi/6sinphil(643-24raiz33cos^3phir)dphi =2pi3integral0^pi/6sinphil(64-24raiz3cos^3phir)dphi

Passo 4

Agora separamos o integral em dois termos:
I=integral0^pi/664sinphi,dphi ;-;24raiz3integral0^pi/6sinphicos^3phi,dphi
Para o primeiro
integral0^pi/6sinphi,dphi =[-cosphi]0^pi/6 =1-raiz32 Longrightarrow 64l(1-raiz32r)=32(2-raiz3)
Para o segundo, use u=cosphi, du=-sinphi,dphi:
integral0^pi/6sinphicos^3phi,dphi =integralu=1^u=raiz32(-u^-3),du =l[tfrac12u^-2r]1^raiz32 =12l(43-1r) =13
Multiplicando, o segundo termo vale
24raiz3cdot13=8raiz3
Logo
I=32(2-raiz3)-8raiz3=64-32raiz3-8raiz3=64-40raiz3
E por fim
V=2pi3,I =2pi3l(64-40raiz3r) =pi3l(128-80raiz3r)

Resposta

V=pi3l(128-80raiz3r)

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