In each of Problems 9 through 12:
a. Show that
is a regular singular point of the given differential equation.
b. Find the exponents at the singular point
.
c. Find the first three nonzero terms in each of two solutions (not multiples of each other) about
.
a. Show that
b. Find the exponents at the singular point
c. Find the first three nonzero terms in each of two solutions (not multiples of each other) about
Passo 1
Temos a EDO
Reescrevendo em forma padrão:
Reescrevendo em forma padrão:
vemos que pode haver singular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius para analisar.
Passo 2
Para x=0 verificamos p(x)=1/x e q(x)=-1/x. Como x·p(x)=1 e x²·q(x)=-x são ambos analíticos em x=0, x=0 é ponto singular regular.
Passo 3
Procuramos solução da forma y=∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r}. O polinômio indicial vem de:
Logo a raiz é r=0 (dupla).
Passo 4
Para r=0 obtemos a recorrência
ou seja
com a_0 arbitrário. Assim
a_n= a_0/(n!)^2. Escolhendo a_0=1, a solução regular é
a_n= a_0/(n!)^2. Escolhendo a_0=1, a solução regular é
Passo 5
Como a raiz r=0 é dupla, a segunda solução usa redução de ordem:
Expandindo em série e integrando, encontra-se
Se expandirmos incluindo o log, os três primeiros termos não nulos são:
Resposta
x=0 é ponto singular regular; índice r satisfaz r^2=0, logo r=0 (duplo). Duas soluções independentes em torno de x=0 são: