In each of Problems 9 through 12:
a. Show that x=0 is a regular singular point of the given differential equation.
b. Find the exponents at the singular point x=0.
c. Find the first three nonzero terms in each of two solutions (not multiples of each other) about x=0.
x y^prime prime+y^prime-y=0

Passo 1

Temos a EDO
Reescrevendo em forma padrão:
y''+1x,y' - 1x,y = 0,
vemos que pode haver singular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius para analisar.

Passo 2

Para x=0 verificamos p(x)=1/x e q(x)=-1/x. Como x·p(x)=1 e x²·q(x)=-x são ambos analíticos em x=0, x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Procuramos solução da forma y=∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r}. O polinômio indicial vem de:
r(r-1)+1·r+0= r^2=0
Logo a raiz é r=0 (dupla).

Passo 4

Para r=0 obtemos a recorrência
(n+1)^2 an+1-an=0
ou seja
an+1=an(n+1)^2,
com a_0 arbitrário. Assim
a_n= a_0/(n!)^2. Escolhendo a_0=1, a solução regular é
y1(x)= sumn=0^infty x^n(n!)^2=1+x+x^24+O(x^3)

Passo 5

Como a raiz r=0 é dupla, a segunda solução usa redução de ordem:
y2=y1,integral e^-integral p,dxy1^2,dx = y1integral x^-1y1^2,dx
Expandindo em série e integrando, encontra-se
y2(x)=y1(x)ln x -2x -tfrac34x^2+O(x^3)
Se expandirmos incluindo o log, os três primeiros termos não nulos são:
y2(x)=ln x + xln x -2x +O(x^2)

Resposta

x=0 é ponto singular regular; índice r satisfaz r^2=0, logo r=0 (duplo). Duas soluções independentes em torno de x=0 são:
y1(x)=1+x+tfracx^24+O(x^3),
y2(x)=ln x +xln x -2x+O(x^2)

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