In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point
for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
Passo 1
Estamos lidando com a função f(x) = sin x em torno de x₀ = 0, ou seja, queremos a série de Taylor (Maclaurin) de sin x e seu raio de convergência. Para isso, vamos usar a fórmula geral:
precisamos então dos n-ésimos derivados de sin x avaliados em 0.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de sin x e avaliá-las em x=0:
- f(x)=sin x → f(0)=0
- f’(x)=cos x → f’(0)=1
- f’’(x)=-sin x → f’’(0)=0
- f’’’(x)=-cos x → f’’’(0)=-1
- f⁽⁴⁾(x)=sin x → f⁽⁴⁾(0)=0
Reparou no padrão? As derivadas não nulas ocorrem só em ordens ímpares.
Passo 3
Com base nisso, só termos de ordem n=2k+1 aparecem, com f⁽²ᵏ⁺¹⁾(0)=(-1)ᵏ. Logo a série fica:
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência R, usamos o teste da razão em módulo nos coeficientes a_k = (-1)^k/(2k+1)!:
Como L=0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.