In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point x0 for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
sin x, x0=0

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x) = sin x em torno de x₀ = 0, ou seja, queremos a série de Taylor (Maclaurin) de sin x e seu raio de convergência. Para isso, vamos usar a fórmula geral:
sin x = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
precisamos então dos n-ésimos derivados de sin x avaliados em 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de sin x e avaliá-las em x=0:
  • f(x)=sin x → f(0)=0
  • f’(x)=cos x → f’(0)=1
  • f’’(x)=-sin x → f’’(0)=0
  • f’’’(x)=-cos x → f’’’(0)=-1
  • f⁽⁴⁾(x)=sin x → f⁽⁴⁾(0)=0
Reparou no padrão? As derivadas não nulas ocorrem só em ordens ímpares.

Passo 3

Com base nisso, só termos de ordem n=2k+1 aparecem, com f⁽²ᵏ⁺¹⁾(0)=(-1)ᵏ. Logo a série fica:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência R, usamos o teste da razão em módulo nos coeficientes a_k = (-1)^k/(2k+1)!:
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty 1/(2k+3)!1/(2k+1)! = limktoinfty 1(2k+2)(2k+3) = 0
Como L=0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)!, R = infty

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