Obtenha o volume do sólido que possui as seguintes características:
(i) A base é a região determinada pelas curvas
e
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(ii) Cada seção transversal perpendicular ao ao eixo-y é um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa pertence ao plano
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(i) A base é a região determinada pelas curvas
(ii) Cada seção transversal perpendicular ao ao eixo-y é um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa pertence ao plano
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano xy é a região entre as curvas x=y² e x=4, e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos retângulos isósceles com a hipotenusa sobre essa base. Vamos usar o método de discos (fatias) e a fórmula de volume por integração de áreas. Precisamos lembrar que o volume é dado por ∫A(y)dy, onde A(y) é a área da seção transversal no ponto y.
Passo 2
Para um dado y fixo, a hipotenusa do triângulo vai de x=y² até x=4, então seu comprimento é L(y)=4−y². Nnum triângulo retângulo isósceles, as duas pernas são iguais a l e a hipotenusa vale l√2. Logo l = L(y)/√2.
Passo 3
A área do triângulo é A = (1/2)·l². Substituindo l = L/√2, obtemos
ou seja
Passo 4
A região em y é determinada por y² ≤4, isto é, y ∈ [−2,2]. Assim o volume é
Passo 5
Para calcular, expande-se (4−y²)² =16−8y²+y⁴ e põe fora 1/4:
Integra-se termo a termo:
Avaliando de -2 a 2,
F(2)-F(-2)=\frac{512}{15}. Multiplicando 1/4 dá V=128/15.
Passo 6
Portanto, o volume do sólido é
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