Obtenha o volume do sólido que possui as seguintes características:
(i) A base é a região determinada pelas curvas x=y^2 e x=4;
(ii) Cada seção transversal perpendicular ao ao eixo-y é um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa pertence ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano xy é a região entre as curvas x=y² e x=4, e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos retângulos isósceles com a hipotenusa sobre essa base. Vamos usar o método de discos (fatias) e a fórmula de volume por integração de áreas. Precisamos lembrar que o volume é dado por ∫A(y)dy, onde A(y) é a área da seção transversal no ponto y.

Passo 2

Para um dado y fixo, a hipotenusa do triângulo vai de x=y² até x=4, então seu comprimento é L(y)=4−y². Nnum triângulo retângulo isósceles, as duas pernas são iguais a l e a hipotenusa vale l√2. Logo l = L(y)/√2.

Passo 3

A área do triângulo é A = (1/2)·l². Substituindo l = L/√2, obtemos
A(y)=12gl(L(y)raiz2gr)^2=L(y)^24
ou seja
A(y)=(4-y^2)^24

Passo 4

A região em y é determinada por y² ≤4, isto é, y ∈ [−2,2]. Assim o volume é
V=integraly=-2^2A(y),dy=integral-2^2(4-y^2)^24,dy

Passo 5

Para calcular, expande-se (4−y²)² =16−8y²+y⁴ e põe fora 1/4:
V=14integral-2^2(16−8y^2+y^4),dy
Integra-se termo a termo:
integral(16)dy=16y, integral(-8y^2)dy=-83y^3, integral y^4 dy=y^55
Avaliando de -2 a 2,
F(y)=16y-83y^3+y^55,
F(2)-F(-2)=\frac{512}{15}. Multiplicando 1/4 dá V=128/15.

Passo 6

Portanto, o volume do sólido é tfrac12815.

Resposta

tfrac12815

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