EBB. 3 Mostre que a variação da entropia n mols de um gás ideal que se expande isotermicamente, saindo de um volume V_{i} até um volume V_{f} pode ser dada por
\Delta S=n R \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia \Delta S de n mols de um gás ideal que se expande reversivelmente e isotermicamente de um volume inicial V_{i} a um volume final V_{f}. Para isso, vamos usar a definição termodinâmica de entropia e a lei dos gases ideais.

Passo 2

A definição de variação de entropia num processo reversível é
\Delta S = \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.

Passo 3

Como a expansão é isotérmica, a temperatura T permanece constante. Então podemos tirar 1/T fora da integral:
\Delta S = \frac{1}{T}\int \delta Q_{\text{rev}}.

Passo 4

Num processo isotérmico reversível de gás ideal, todo calor trocado \delta Q_{\text{rev}} entra como trabalho reversível \delta W_{\text{rev}}, e
\delta W_{\text{rev}} = p\,dV,
com p dada pela equação de estado pV = nRT, ou seja p = \frac{nRT}{V}. Substituindo em \int \delta Q_{\text{rev}} = \int p\,dV, temos
\int \delta Q_{\text{rev}} = \int p\,dV = \int \frac{nRT}{V}\,dV = nRT \int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{dV}{V}.

Passo 5

A integral \displaystyle \int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{dV}{V} é \ln\bigl(V_{f}/V_{i}\bigr). Assim,
\int \delta Q_{\text{rev}} = nRT \ln\!\bigl(\tfrac{V_{f}}{V_{i}}\bigr).
Dividindo por T, obtemos
\Delta S = \frac{1}{T}\,nRT \ln\!\bigl(\tfrac{V_{f}}{V_{i}}\bigr) = nR \ln\!\bigl(\tfrac{V_{f}}{V_{i}}\bigr).

Resposta

\Delta S = nR \ln\!\biggl(\frac{V_{f}}{V_{i}}\biggr).

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