EBB. 4 Qual a variação de entropia para que um sistema constituído por meio quilograma de água à 30^{\circ} eleve sua temperatura em 10^{\circ} \mathrm{C} ? Cágua =1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia ao aquecer reversivelmente meio quilo de água de 30^\circ\mathrm{C} até 40^\circ\mathrm{C}. O conteúdo é calor sensível e entropia, e precisamos usar a definição
\Delta S = \int \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}
com \delta Q_{\rm rev}=m\,c\,dT.

Passo 2

Convertemos as temperaturas para Kelvin e atribuímos os valores numéricos:
T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 303\:\mathrm{K},\quad T_2 = 40^\circ\mathrm{C} = 313\:\mathrm{K},
m = 0{,}5\:\mathrm{kg} = 500\:\mathrm{g},\quad c = 1{,}0\:\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,\!^\circ\mathrm{C}}.

Passo 3

Substituindo em
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{m\,c\,dT}{T}
nos dá
\Delta S = 500\cdot 1{,}0 \int_{303}^{313} \frac{dT}{T} = 500 \ln\!\biggl(\frac{313}{303}\biggr).

Passo 4

Calculamos o logaritmo e o produto:
\frac{313}{303}\approx 1{,}0330,\quad \ln(1{,}0330)\approx 0{,}0325,
\Delta S \approx 500\times 0{,}0325 = 16{,}25\:\mathrm{cal/K}.
Em joules por kelvin, usando 1\:\mathrm{cal}=4{,}186\:\mathrm{J}, fica
\Delta S \approx 16{,}25\times4{,}186 \approx 68\:\mathrm{J/K}.

Resposta

\Delta S \approx 16{,}2\:\mathrm{cal/K} \quad(\approx 68\:\mathrm{J/K}).

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