Um ecologista observa que a população P(t) de uma espécie ameaçada de extinção está aumentando à razão de P^prime(t)=0,51 l^-0,03 t animais por ano, onde t é o número de anos após começarem a ser feitos os registros: Se no ano em que começaram a ser feitos os
registros a população era de 500 animais, qual será a população K anos mais tarde?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação da população é dada por P'(t)=0,51,e^-0,03t e que P(0)=500. Queremos encontrar P(K) anos após o início dos registros, isto é, resolver a equação diferencial por integração.

Passo 2

Para obter P(t), integramos a taxa P'(t)=0,51,e^-0,03t. Usamos integral e^at,dt = 1a e^at. Assim,
P(t)=integral 0,51,e^-0,03t,dt = 0,51cdote^-0,03t-0,03 + C = -17,e^-0,03t + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial P(0)=500:
-17,e^-0,03cdot0+C = 500 implies -17 + C = 500 implies C = 517

Passo 4

Portanto a solução geral é P(t)=517 - 17,e^-0,03t. Para t=K, temos P(K)=517 - 17,e^-0,03K.

Resposta

P(K)=517 - 17,e^-0,03K

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