Um ecologista observa que a população de uma espécie ameaçada de extinção está aumentando à razão de animais por ano, onde t é o número de anos após começarem a ser feitos os registros: Se no ano em que começaram a ser feitos os
registros a população era de 500 animais, qual será a população anos mais tarde?
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de variação da população é dada por P'(t)=0,51,e^-0,03t e que P(0)=500. Queremos encontrar P(K) anos após o início dos registros, isto é, resolver a equação diferencial por integração.
Passo 2
Para obter P(t), integramos a taxa P'(t)=0,51,e^-0,03t. Usamos integral e^at,dt = 1a e^at. Assim,
P(t)=integral 0,51,e^-0,03t,dt = 0,51cdote^-0,03t-0,03 + C = -17,e^-0,03t + C
Passo 3
Aplicamos a condição inicial P(0)=500:
-17,e^-0,03cdot0+C = 500 implies -17 + C = 500 implies C = 517
Passo 4
Portanto a solução geral é P(t)=517 - 17,e^-0,03t. Para t=K, temos P(K)=517 - 17,e^-0,03K.