A economia de um carro(km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir
Velocidade(km/h) 16 40 64 88 112
Economia(km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Determine o polinômio de Lagrange de segunda ordem que pasa pelos pontos.
Use este polinômio para calcuar a economia de combustível a 105 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado fornece cinco medições de velocidade v versus economia de combustível E (em km/l) e pede para determinar o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola três desses pontos e, em seguida, estimar a economia a 105 km/h. O conteúdo aqui é interpolação polinomial de Lagrange; vamos precisar escolher três pontos próximos de v=105, montar as bases de Lagrange de grau 2 e avaliar o polinômio resultante em v=105.

Passo 2

Como queremos estimar E em v=105, escolhemos os três pontos com velocidades mais próximas de 105:
(x_0,E_0)=(64,\,10),\quad(x_1,E_1)=(88,\,10{,}7),\quad(x_2,E_2)=(112,\,8{,}6).

Passo 3

Escrevemos as bases de Lagrange de grau 2:
L_0(x)=\frac{(x-88)(x-112)}{(64-88)(64-112)},\quad L_1(x)=\frac{(x-64)(x-112)}{(88-64)(88-112)},\quad L_2(x)=\frac{(x-64)(x-88)}{(112-64)(112-88)}.
O polinômio interpolador é
P_2(x)=10\,L_0(x)+10{,}7\,L_1(x)+8{,}6\,L_2(x).

Passo 4

Para facilitar a avaliação em x=105, calculamos cada base em x=105:
L_0(105)=\frac{(105-88)(105-112)}{(-24)(-48)}=\frac{17\cdot(-7)}{1152}=-0{,}1033,
L_1(105)=\frac{(105-64)(105-112)}{24\cdot(-24)}=\frac{41\cdot(-7)}{-576}=0{,}4983,
L_2(105)=\frac{(105-64)(105-88)}{48\cdot24}=\frac{41\cdot17}{1152}=0{,}6051.
Logo,
P_2(105)=10\cdot(-0{,}1033)+10{,}7\cdot0{,}4983+8{,}6\cdot0{,}6051.

Passo 5

Fazendo as multiplicações e somando,
P_2(105)\approx -1{,}033 +5{,}3308 +5{,}2039 =9{,}5017.
Portanto, a interpolação quadrática prevê uma economia próxima de 9{,}50 km/l a 105 km/h.

Resposta

A economia estimada a 105 km/h é aproximadamente 9{,}50 km/l.

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