Em uma economia com dois bens ( X, Y ) e duas firmas ( F_{1}, F_{2} ), cada uma usa um fator (trabalho L ) para produzir. As tecnologias são X=L_{X}^{0,5} e Y=L_{Y}^{0,5}, com dotação total L=100. As preferências de consumo são U(X, Y)=X^{0,5} Y^{0,5}.
(a) Determine a condição de eficiência na alocação do fator de produção (igualdade das TMT).
(b) Calcule a distribuição ótima de L entre as firmas.
(c) Explique como o equilíbrio competitivo descentraliza essa solução eficiente.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece estes dados:
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a condição de eficiência na alocação do fator (igualdade das TMT).
(b) Calcular a distribuição ótima de L entre as firmas F_{1} e F_{2}.
(c) Explicar como o equilíbrio competitivo descentraliza essa solução eficiente.
Informações relevantes dadas:
Tecnologias de produção:X = L_X^{0,5},\qquad Y = L_Y^{0,5},onde L_X é o trabalho usado para produzir X e L_Y o usado para produzir Y.
Dotação total de trabalho:L = 100,\qquad L_X + L_Y = 100.
Preferências do consumidor (utilidade):U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5}.
Não há outras informações (ex.: preços dados) no enunciado; presumir raciocínio padrão de eficiência e de um mercado competitivo descentralizando a solução.
Passo 2
Entender PPF (fronteira de possibilidades de produção) e como obtê-la com as tecnologias dadas — aula rápida e prática.
A PPF relaciona combinações possíveis (X,Y) quando se usa todo o trabalho L. Aqui, inverter as tecnologias para escrever L_X e L_Y em termos de X e Y:X = L_X^{1/2}\quad\Rightarrow\quad L_X = X^2,
Y = L_Y^{1/2}\quad\Rightarrow\quad L_Y = Y^2.
Essas inversões vêm de elevar ambos os lados ao quadrado; é só álgebra simples.
Como L_X+L_Y=L, a PPF é:X^2 + Y^2 = L = 100.Esta é a equação de um quarto de círculo (com X,Y\ge0), que dá todas as combinações factíveis.
Passo 3
Calcular a Taxa Marginal de Transformação (TMT, também chamada MRT) a partir da PPF — o que é e como se obtém.
Conceito: a TMT é a inclinação da PPF, isto é, quanto de Y é necessário sacrificar para obter uma unidade adicional de X. Matematicamente é dY/dX ao longo da PPF (valor absoluto, normalmente).
Interpretação: para produzir um pouco mais de X, sacrifica-se aproximadamente \dfrac{X}{Y} unidades de Y.
Passo 4
Calcular a Taxa Marginal de Substituição (TMS, também escrita MRS) do consumidor e explicar o conceito.
Conceito: a TMS/MRS é quanto de Y o consumidor está disposto a trocar por uma unidade a mais de X mantendo a utilidade constante. É a razão das utilidades marginais:
\mathrm{MRS} = \frac{MU_X}{MU_Y}.
Calcular utilidades marginais para U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5}.
Interpretação: o consumidor está disposto a trocar Y/X unidades de Y por 1 unidade extra de X.
Passo 5
Impor a condição de eficiência (igualdade TMS = TMT) e resolver para X e Y.
Condição de eficiência (primeiro teorema do bem-estar para um consumidor representativo e tecnologia): a TMS do consumidor deve igualar a TMT da produção:
\mathrm{MRS} = \mathrm{TMT}.
Substituir as expressões obtidas:
\frac{Y}{X} = \frac{X}{Y}.
Multiplicando ambos os lados por XY:
Y^2 = X^2 \quad\Rightarrow\quad X = Y\quad(\text{tomando }X,Y\ge0).
Usar a PPF X^2+Y^2=100 com X=Y:
2X^2=100 \quad\Rightarrow\quad X^2=50 \quad\Rightarrow\quad X = \sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Portanto
X=Y=5\sqrt{2}\approx 7{,}071.
Passo 6
Converter essa solução ótima em alocação do fator L entre as firmas (resposta da parte (b)).
Usar as inversões L_X=X^2 e L_Y=Y^2. Com X^2=50 e Y^2=50:L_X = 50,\qquad L_Y = 50.Confirmação: L_X+L_Y=50+50=100 bate com a dotação total.
Passo 7
Explicar (didaticamente) como o equilíbrio competitivo descentraliza a solução eficiente — passo a passo e intuitivo.
Ideia geral: em competição perfeita existem preços para bens (p_X,p_Y) e para trabalho (w). Cada firma escolhe L_i maximizando lucro dado w,p; cada consumidor escolhe X,Y maximizando utilidade dado seu rendimento (salário e lucros distribuídos). No equilíbrio de mercado os mercados de bens e do trabalho fecham; mostra-se que a condição de otimização descentralizada reproduz \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}.
Firmas: tomam p_X,p_Y,w como dados. Por exemplo, a firma que produz X resolve
\max_{L_X}\; \Pi_X = p_X X - w L_X \quad\text{sujeito a}\quad X=L_X^{1/2}.
Assim, a razão de preços no mercado iguala \dfrac{X}{Y}, que é exatamente a TMT em módulo (pois \mathrm{TMT}=X/Y).
Consumidor: maximizando U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5} sujeito ao orçamento p_X X + p_Y Y = I (onde I é a renda do consumidor, vinda de salários e lucros). Para utilidade Cobb–Douglas com expoentes iguais, o consumidor gasta metade da renda em X e metade em Y, e a condição de escolha ótima implica
\mathrm{MRS}=\frac{p_X}{p_Y}.
Ou seja, o consumidor ajusta X e Y até que sua disposição a trocar (MRS) iguale a razão de preços.
Combinando: das firmas obtemos \dfrac{p_X}{p_Y}=\dfrac{X}{Y}. Do consumidor obtemos \mathrm{MRS}=\dfrac{p_X}{p_Y}. Portanto, no equilíbrio competitivo
ou seja, \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}. Isso reproduz exatamente a condição de eficiência obtida antes. Consequentemente, o preço-sistema competitivo descentraliza a solução eficiente encontrada: os incentivos de firmas (maximizar lucro) e do consumidor (maximizar utilidade) com preços que equilibram mercados implicam a igualização MRS = TMT e, com a restrição de recursos, produzem X=Y=5\sqrt{2} e L_X=L_Y=50.
Resposta
(a) Condição de eficiência: \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}. Com os dados: \mathrm{MRS}=\dfrac{Y}{X} e \mathrm{TMT}=\dfrac{X}{Y}, logo \dfrac{Y}{X}=\dfrac{X}{Y}\Rightarrow X=Y.
(b) Distribuição ótima de L: L_X=L_Y=50 (porta a X=Y=5\sqrt{2}).
(c) O equilíbrio competitivo descentraliza a solução porque as firmas maximizam lucro e implicam \dfrac{p_X}{p_Y}=\dfrac{X}{Y}=\mathrm{TMT}, enquanto o consumidor otimiza e impõe \mathrm{MRS}=\dfrac{p_X}{p_Y}; combinando dá \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}, que reproduz a condição eficiente e, com L=100, gera L_X=L_Y=50.