1. Em uma economia com dois bens ( X, Y ) e duas firmas ( F_{1}, F_{2} ), cada uma usa um fator (trabalho L ) para produzir. As tecnologias são X=L_{X}^{0,5} e Y=L_{Y}^{0,5}, com dotação total L=100. As preferências de consumo são U(X, Y)=X^{0,5} Y^{0,5}.
    (a) Determine a condição de eficiência na alocação do fator de produção (igualdade das TMT).
    (b) Calcule a distribuição ótima de L entre as firmas.
    (c) Explique como o equilíbrio competitivo descentraliza essa solução eficiente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece estes dados:
  • O que o enunciado pede:
    1. (a) Determinar a condição de eficiência na alocação do fator (igualdade das TMT).
    2. (b) Calcular a distribuição ótima de L entre as firmas F_{1} e F_{2}.
    3. (c) Explicar como o equilíbrio competitivo descentraliza essa solução eficiente.
  • Informações relevantes dadas:
    • Tecnologias de produção: X = L_X^{0,5},\qquad Y = L_Y^{0,5},onde L_X é o trabalho usado para produzir X e L_Y o usado para produzir Y.
    • Dotação total de trabalho: L = 100,\qquad L_X + L_Y = 100.
    • Preferências do consumidor (utilidade): U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5}.
    • Não há outras informações (ex.: preços dados) no enunciado; presumir raciocínio padrão de eficiência e de um mercado competitivo descentralizando a solução.

Passo 2

Entender PPF (fronteira de possibilidades de produção) e como obtê-la com as tecnologias dadas — aula rápida e prática.
  • A PPF relaciona combinações possíveis (X,Y) quando se usa todo o trabalho L. Aqui, inverter as tecnologias para escrever L_X e L_Y em termos de X e Y: X = L_X^{1/2}\quad\Rightarrow\quad L_X = X^2,
Y = L_Y^{1/2}\quad\Rightarrow\quad L_Y = Y^2.
Essas inversões vêm de elevar ambos os lados ao quadrado; é só álgebra simples.
  • Como L_X+L_Y=L, a PPF é: X^2 + Y^2 = L = 100.Esta é a equação de um quarto de círculo (com X,Y\ge0), que dá todas as combinações factíveis.

Passo 3

Calcular a Taxa Marginal de Transformação (TMT, também chamada MRT) a partir da PPF — o que é e como se obtém.
  • Conceito: a TMT é a inclinação da PPF, isto é, quanto de Y é necessário sacrificar para obter uma unidade adicional de X. Matematicamente é dY/dX ao longo da PPF (valor absoluto, normalmente).
  • Diferenciando a PPF:
    X^2+Y^2=100 \quad\Rightarrow\quad 2X\,dX + 2Y\,dY = 0.
    Assim,
    \frac{dY}{dX} = -\frac{X}{Y}.
    A TMT (em módulo) é
    \mathrm{TMT} = \left|\frac{dY}{dX}\right| = \frac{X}{Y}.
    Interpretação: para produzir um pouco mais de X, sacrifica-se aproximadamente \dfrac{X}{Y} unidades de Y.

Passo 4

Calcular a Taxa Marginal de Substituição (TMS, também escrita MRS) do consumidor e explicar o conceito.
  • Conceito: a TMS/MRS é quanto de Y o consumidor está disposto a trocar por uma unidade a mais de X mantendo a utilidade constante. É a razão das utilidades marginais:
    \mathrm{MRS} = \frac{MU_X}{MU_Y}.
  • Calcular utilidades marginais para U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5}.
    MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 0,5\,X^{-0,5}Y^{0,5},
MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 0,5\,X^{0,5}Y^{-0,5}.
Logo,
\mathrm{MRS}=\frac{MU_X}{MU_Y}=\frac{0,5\,X^{-0,5}Y^{0,5}}{0,5\,X^{0,5}Y^{-0,5}}=\frac{Y}{X}.
Interpretação: o consumidor está disposto a trocar Y/X unidades de Y por 1 unidade extra de X.

Passo 5

Impor a condição de eficiência (igualdade TMS = TMT) e resolver para X e Y.
  • Condição de eficiência (primeiro teorema do bem-estar para um consumidor representativo e tecnologia): a TMS do consumidor deve igualar a TMT da produção:
    \mathrm{MRS} = \mathrm{TMT}.
  • Substituir as expressões obtidas:
    \frac{Y}{X} = \frac{X}{Y}.
    Multiplicando ambos os lados por XY:
    Y^2 = X^2 \quad\Rightarrow\quad X = Y\quad(\text{tomando }X,Y\ge0).
  • Usar a PPF X^2+Y^2=100 com X=Y:
    2X^2=100 \quad\Rightarrow\quad X^2=50 \quad\Rightarrow\quad X = \sqrt{50}=5\sqrt{2}.
    Portanto
    X=Y=5\sqrt{2}\approx 7{,}071.

Passo 6

Converter essa solução ótima em alocação do fator L entre as firmas (resposta da parte (b)).
  • Usar as inversões L_X=X^2 e L_Y=Y^2. Com X^2=50 e Y^2=50: L_X = 50,\qquad L_Y = 50.Confirmação: L_X+L_Y=50+50=100 bate com a dotação total.

Passo 7

Explicar (didaticamente) como o equilíbrio competitivo descentraliza a solução eficiente — passo a passo e intuitivo.
  • Ideia geral: em competição perfeita existem preços para bens ( p_X,p_Y) e para trabalho ( w). Cada firma escolhe L_i maximizando lucro dado w,p; cada consumidor escolhe X,Y maximizando utilidade dado seu rendimento (salário e lucros distribuídos). No equilíbrio de mercado os mercados de bens e do trabalho fecham; mostra-se que a condição de otimização descentralizada reproduz \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}.
  • Firmas: tomam p_X,p_Y,w como dados. Por exemplo, a firma que produz X resolve
    \max_{L_X}\; \Pi_X = p_X X - w L_X \quad\text{sujeito a}\quad X=L_X^{1/2}.
    Substituindo X e derivando (FOC):
    \frac{d\Pi_X}{dL_X}=p_X\frac{dX}{dL_X}-w = p_X\cdot\frac{1}{2}L_X^{-1/2}-w=0.
    Como X=L_X^{1/2}, reescreve-se:
    p_X\frac{1}{2X}=w \quad\Rightarrow\quad p_X = 2wX.
    De forma análoga para a firma que produz Y:
    p_Y = 2wY.
  • Tomar a razão de preços:
    \frac{p_X}{p_Y}=\frac{2wX}{2wY}=\frac{X}{Y}.
    Assim, a razão de preços no mercado iguala \dfrac{X}{Y}, que é exatamente a TMT em módulo (pois \mathrm{TMT}=X/Y).
  • Consumidor: maximizando U(X,Y)=X^{0,5}Y^{0,5} sujeito ao orçamento p_X X + p_Y Y = I (onde I é a renda do consumidor, vinda de salários e lucros). Para utilidade Cobb–Douglas com expoentes iguais, o consumidor gasta metade da renda em X e metade em Y, e a condição de escolha ótima implica
    \mathrm{MRS}=\frac{p_X}{p_Y}.
    Ou seja, o consumidor ajusta X e Y até que sua disposição a trocar (MRS) iguale a razão de preços.
  • Combinando: das firmas obtemos \dfrac{p_X}{p_Y}=\dfrac{X}{Y}. Do consumidor obtemos \mathrm{MRS}=\dfrac{p_X}{p_Y}. Portanto, no equilíbrio competitivo
    \mathrm{MRS}=\frac{p_X}{p_Y}=\frac{X}{Y}=\mathrm{TMT},
    ou seja, \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}. Isso reproduz exatamente a condição de eficiência obtida antes. Consequentemente, o preço-sistema competitivo descentraliza a solução eficiente encontrada: os incentivos de firmas (maximizar lucro) e do consumidor (maximizar utilidade) com preços que equilibram mercados implicam a igualização MRS = TMT e, com a restrição de recursos, produzem X=Y=5\sqrt{2} e L_X=L_Y=50.

Resposta

(a) Condição de eficiência: \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}. Com os dados: \mathrm{MRS}=\dfrac{Y}{X} e \mathrm{TMT}=\dfrac{X}{Y}, logo \dfrac{Y}{X}=\dfrac{X}{Y}\Rightarrow X=Y.
(b) Distribuição ótima de L: L_X=L_Y=50 (porta a X=Y=5\sqrt{2}).
(c) O equilíbrio competitivo descentraliza a solução porque as firmas maximizam lucro e implicam \dfrac{p_X}{p_Y}=\dfrac{X}{Y}=\mathrm{TMT}, enquanto o consumidor otimiza e impõe \mathrm{MRS}=\dfrac{p_X}{p_Y}; combinando dá \mathrm{MRS}=\mathrm{TMT}, que reproduz a condição eficiente e, com L=100, gera L_X=L_Y=50.

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