1. Um bem tem demanda Q_{D}=80-4 P e oferta Q_{S}=4 P-40.
    (a) Determine P^{*} e Q^{*}.
    (b) Calcule a elasticidade-preço da demanda e da oferta no ponto de equilíbrio.
    (c) Interprete o significado econômico das elasticidades obtidas.

Passo 1

O enunciado dá as funções lineares de demanda e oferta e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • Demanda: Q_{D}=80-4P.
    • Oferta: Q_{S}=4P-40.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o preço de equilíbrio P^{*} e a quantidade de equilíbrio Q^{*}.
    • (b) Calcular a elasticidade-preço da demanda e da oferta no ponto de equilíbrio.
    • (c) Interpretar economicamente as elasticidades obtidas.

Passo 2

Como encontrar o equilíbrio? Em equilíbrio de mercado a quantidade demandada é igual à quantidade ofertada, isto é Q_{D}=Q_{S}. Vou resolver essa igualdade para obter P^{*}.
80-4P \;=\; 4P-40
Agora isolo P.

Passo 3

Continuando a resolução algébrica para P^{*}.
80+40 \;=\; 4P+4P
120 \;=\; 8P
P^{*} \;=\; \frac{120}{8} \;=\; 15
Então o preço de equilíbrio é P^{*}=15.

Passo 4

Agora encontro a quantidade de equilíbrio Q^{*} substituindo P^{*} em qualquer das funções (uso a demanda por ser direta).
Q^{*}=80-4P^{*}=80-4\cdot15=80-60=20
Logo Q^{*}=20. (Verificação rápida usando a oferta: 4\cdot15-40=60-40=20, bate certinho.)

Passo 5

Explicar o que é elasticidade-preço em ponto e a fórmula que vou usar. A elasticidade-preço da quantidade em relação ao preço, no ponto (P,Q), mede a variação percentual da quantidade quando o preço varia 1% e é definida por
E=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
Aqui dQ/dP é a derivada da função quantidade em relação ao preço — para funções lineares isso é simplesmente a inclinação (o coeficiente multiplicador de P). O sinal indica direção (negativo para demanda decrescente), e o valor absoluto |E| diz se é elástica ( |E|>1), unitária ( |E|=1) ou inelástica ( |E|<1).

Passo 6

Calcular dQ/dP para demanda e oferta.
  • Para a demanda Q_{D}=80-4P a derivada é \frac{dQ_{D}}{dP}=-4.
  • Para a oferta Q_{S}=4P-40 a derivada é \frac{dQ_{S}}{dP}=4.

Passo 7

Aplicar a fórmula da elasticidade no ponto de equilíbrio (P^{*}=15,\;Q^{*}=20).
  • Elasticidade-preço da demanda: E_{D}=\frac{dQ_{D}}{dP}\cdot\frac{P^{*}}{Q^{*}} = -4\cdot\frac{15}{20} = -4\cdot\frac{3}{4} = -3.
  • Elasticidade-preço da oferta: E_{S}=\frac{dQ_{S}}{dP}\cdot\frac{P^{*}}{Q^{*}} = 4\cdot\frac{15}{20} = 4\cdot\frac{3}{4} = 3.

Passo 8

Interpretação econômica (clara e prática):
  • Demanda: E_{D}=-3 significa que a demanda é elástica em módulo (pois |-3|=3>1). Isso quer dizer que um aumento de 1\% no preço leva, aproximadamente, a uma redução de 3\% na quantidade demandada. O sinal negativo indica a relação inversa típica entre preço e quantidade demandada. Consequência prática: um aumento de preço tende a reduzir a receita total do vendedor, porque a queda percentual na quantidade (3%) supera o ganho percentual no preço (1%).
  • Oferta: E_{S}=3 significa que a oferta é elástica (maior que 1). Um aumento de 1\% no preço leva, aproximadamente, a um aumento de 3\% na quantidade ofertada. O sinal positivo reflete que produtores respondem ao aumento de preço aumentando a quantidade oferecida.
  • Observação adicional: essas elesticidades são elásticas em volta do ponto de equilíbrio específico; para outras curvas (ou outros pontos) os valores podem mudar. Em curvas lineares a elasticidade varia com o ponto escolhido.

Passo 9

Recapitulando com um exemplo numérico de intuição: no equilíbrio P^{*}=15 e Q^{*}=20. Se o preço subir 1\% para 15,15 então, em primeira aproximação, a quantidade demandada cairia cerca de 3\% para aproximadamente 19,4 ( 20\cdot(1-0,03)=19,4 ), mostrando a sensibilidade alta da demanda aqui.

Resposta

(a) P^{*}=15,\;Q^{*}=20
(b) E_{D}=-3,\;E_{S}=3
(c) A demanda é elástica ( |E_{D}|=3>1): um aumento de 1\% no preço reduz a quantidade demandada em aproximadamente 3\% (logo, aumentos de preço tendem a reduzir a receita). A oferta é elástica ( E_{S}=3): um aumento de 1\% no preço aumenta a quantidade ofertada em aproximadamente 3\%, indicando alta resposta dos produtores.

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