1. (Equilíbrio Geral com Produção e Troca) Uma economia é composta por dois bens (X, Y), duas firmas \left(F_{X}, F_{Y}\right) e dois consumidores (A, B). As tecnologias são lineares: X=L_{X}, Y=L_{Y}, com dotação total L=10. As preferências são:
U_{A}\left(X_{A}, Y_{A}\right)=X_{A}^{0,5} Y_{A}^{0,5}, \quad U_{B}\left(X_{B}, Y_{B}\right)=X_{B}^{0,3} Y_{B}^{0,7}
(a) Derive as demandas dos consumidores e o equilíbrio competitivo (preços e alocações).
(b) Mostre que o equilíbrio descentralizado é Pareto-eficiente.
(c) Interprete economicamente o resultado e relacione com o 1^{\underline{0}} Teorema do Bem-Estar.

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (pegar tudo que importa):
  • Bens: X e Y.
  • Firmas: duas firmas \!F_X e \!F_Y com tecnologias lineares X = L_X,\qquad Y = L_Y,onde L_X e L_Y são unidades de trabalho utilizadas nas firmas.
  • Dotação total de trabalho: \;L=10.
  • Consumidores: A e B com utilidades U_A(X_A,Y_A)=X_A^{0,5}Y_A^{0,5},\qquad U_B(X_B,Y_B)=X_B^{0,3}Y_B^{0,7}.
  • O que o exercício pede:
    (a) derivar as demandas dos consumidores e o equilíbrio competitivo (preços e alocações);
    (b) mostrar que o equilíbrio descentralizado é Pareto-eficiente;
    (c) interpretar o resultado e relacionar com o Primeiro Teorema do Bem-Estar.
Observação importante sobre renda dos consumidores (informação implícita usada):
  • Os consumidores obtêm renda vendendo o trabalho que possuem. Denotar por L_A e L_B as dotações de trabalho de A e B, com L_A+L_B=L=10.Não é preciso fixar valores numéricos para L_A,L_B para derivar a forma geral do equilíbrio; quando for conveniente para dar números, usarei a simetria L_A=L_B=5 como exemplo numérico (é uma suposição natural e já usada com frequência).
  • Em concorrência perfeita, as firmas obtêm lucro zero (retorno marginal igual ao preço do fator) — vou derivar isso adiante.

Passo 2

Maximização do consumidor A (derivação didática da demanda para Cobb–Douglas).
  • Problema de A: escolher (X_A,Y_A) para \max_{X_A,Y_A}\;U_A(X_A,Y_A)=X_A^{0,5}Y_A^{0,5}sujeito ao orçamento p_X X_A + p_Y Y_A = m_A,onde p_X,p_Y são preços e m_A é a renda de A.
  • Técnica: Lagrangeano. Definir \mathcal{L}_A = X_A^{0,5}Y_A^{0,5} + \lambda_A\bigl(m_A - p_X X_A - p_Y Y_A\bigr).Condições de primeira ordem: \frac{\partial \mathcal{L}_A}{\partial X_A}=0 \Rightarrow 0,5 X_A^{-0,5}Y_A^{0,5}-\lambda_A p_X=0,
\frac{\partial \mathcal{L}_A}{\partial Y_A}=0 \Rightarrow 0,5 X_A^{0,5}Y_A^{-0,5}-\lambda_A p_Y=0.
  • Dividindo a primeira equação pela segunda elimina \lambda_A: \frac{0,5 X_A^{-0,5}Y_A^{0,5}}{0,5 X_A^{0,5}Y_A^{-0,5}}=\frac{p_X}{p_Y} \quad\Rightarrow\quad \frac{Y_A}{X_A}=\frac{p_X}{p_Y}.Ou seja, a condição de tangência (MRS igual à razão de preços) dá Y_A = \dfrac{p_X}{p_Y} X_A.
  • Para Cobb–Douglas com expoentes 0,5 e 0,5 sabe-se (e pode-se obter substituindo na restrição orçamentária) que A gasta metade da renda em X e metade em Y. Formalmente: p_X X_A = 0,5\, m_A,\qquad p_Y Y_A = 0,5\, m_A.Assim as demandas de A são X_A(p_X,p_Y,m_A)=\frac{0,5\, m_A}{p_X},\qquad Y_A(p_X,p_Y,m_A)=\frac{0,5\, m_A}{p_Y}.

Passo 3

Maximização do consumidor B (mesma ideia, com expoentes diferentes).
  • Problema de B: \max_{X_B,Y_B}\;X_B^{0,3}Y_B^{0,7}\quad\text{sujeito a}\quad p_X X_B + p_Y Y_B = m_B.
  • Pela mesma técnica (Lagrange), a condição de tangência leva a uma alocação de despesa segundo as partes dos expoentes: B gasta 30\% da renda em X e 70\% em Y. Portanto p_X X_B = 0,3\,m_B,\qquad p_Y Y_B = 0,7\,m_B.Assim as demandas de B são X_B(p_X,p_Y,m_B)=\frac{0,3\,m_B}{p_X},\qquad Y_B(p_X,p_Y,m_B)=\frac{0,7\,m_B}{p_Y}.
Observação pedagógica rápida (por que isso funciona): para uma utilidade do tipo X^\alpha Y^\beta com \alpha,\beta>0 e \alpha+\beta=1 (ou não), o consumidor aloca frações fixas da renda para cada bem: fração \alpha/(\alpha+\beta) para X e \beta/(\alpha+\beta) para Y. Aqui isso dá diretamente as parcelas 0,5 e 0,5 para A, e 0,3 e 0,7 para B.

Passo 4

Comportamento das firmas e determinação de preços (lucro zero).
  • Cada firma é price-taker e escolhe L_X ou L_Y. Com tecnologia X=L_X, receita da firma F_X é p_X X = p_X L_X e custo do trabalho é w L_X, onde w é o salário (preço do trabalho). O lucro é \pi_X = p_X L_X - w L_X = (p_X - w)L_X.Em concorrência com retornos constantes, entrada livre implica lucro zero (ou a firma ajusta L_X até que lucro por unidade seja zero). Assim em equilíbrio p_X = w.Análogo para F_Y p_Y = w.Portanto p_X = p_Y = w,isto é, os preços relativos dos bens são iguais (razão de preços p_X/p_Y=1). Podemos escolher a unidade monetária de forma que w=1; então p_X = p_Y = 1.(Escolha de numeraire: fixar p_Y=1 é padrão; aqui ambos os preços ficam igualados a 1.)
  • Renda dos consumidores: como os lucros são nulos, a única renda vem do trabalho. Assim m_A = w L_A,\qquad m_B = w L_B.Com w=1, m_A=L_A,\qquad m_B=L_B.

Passo 5

Mercados de bens: equilíbrio (market clearing) e alocação agregada.
  • Demandas agregadas (usando p_X=p_Y=1 e m_A=L_A, m_B=L_B): X^{D}=X_A+X_B=\frac{0,5\,m_A}{p_X}+\frac{0,3\,m_B}{p_X} =0,5\,L_A+0,3\,L_B,
Y^{D}=Y_A+Y_B=\frac{0,5\,m_A}{p_Y}+\frac{0,7\,m_B}{p_Y} =0,5\,L_A+0,7\,L_B.
  • Oferta agregada provém do trabalho alocado às firmas: X^{S}=L_X, Y^{S}=L_Y e L_X+L_Y=L.
    Em equilíbrio de mercado, X^{S}=X^{D} e Y^{S}=Y^{D}. Como X^{S}+Y^{S}=L e X^{D}+Y^{D}=L_A+L_B=L, a soma fecha automaticamente; basta escolher L_X=X^{D} e L_Y=Y^{D}.
  • Assim o equilíbrio competitivo (para preços p_X=p_Y=1) é dado pelas quantidades X^*=0,5\,L_A+0,3\,L_B,\qquad Y^*=0,5\,L_A+0,7\,L_B,e as consumptions X_A^*=\frac{0,5\,L_A}{1}=0,5\,L_A,\quad Y_A^*=0,5\,L_A,
X_B^*=\frac{0,3\,L_B}{1}=0,3\,L_B,\quad Y_B^*=0,7\,L_B.
  • Exemplo numérico simétrico: se L_A=L_B=5 então X^*=0,5\cdot5 + 0,3\cdot5 = 2,5+1,5=4,
Y^*=0,5\cdot5 + 0,7\cdot5 = 2,5+3,5=6,
e consumos
(X_A,Y_A)=(2,5,\,2,5),\quad (X_B,Y_B)=(1,5,\,3,5).
Saldo do trabalho: L_X=X^*=4, L_Y=Y^*=6, soma =10. Preços: p_X=p_Y=1.

Passo 6

Mostrar que o equilíbrio descentralizado é Pareto-eficiente (ligando MRS e MRT).
  • Intuição: um alocação é Pareto-eficiente se não há como re-alocar bens/trabalho para melhorar alguém sem piorar outro. Um critério primeira ordem é que, para bens privados, os MRS dos consumidores devem coincidir entre si e com o MRT da tecnologia.
  • Calcular as taxas marginais de substituição (MRS) dos consumidores:
    • Para A: U_A=X_A^{0,5}Y_A^{0,5}. As utilidades marginais são MU_{X}^A=0,5 X_A^{-0,5}Y_A^{0,5},\qquad MU_{Y}^A=0,5 X_A^{0,5}Y_A^{-0,5}.Logo MRS_A=\frac{MU_X^A}{MU_Y^A}=\frac{Y_A}{X_A}.
    • Para B: U_B=X_B^{0,3}Y_B^{0,7}. Calculando análogo, MU_{X}^B=0,3 X_B^{-0,7}Y_B^{0,7},\qquad MU_{Y}^B=0,7 X_B^{0,3}Y_B^{-0,3},
MRS_B=\frac{MU_X^B}{MU_Y^B}=\frac{0,3}{0,7}\cdot\frac{Y_B}{X_B}.
  • No equilíbrio competitivo, a condição de máxima utilidade sujeita ao orçamento impõe MRS_i = p_X/p_Y para cada consumidor i (essa foi a condição de primeira ordem que derivamos ao dividir as equações do Lagrangeano). Como p_X=p_Y=1, temos MRS_A = 1,\qquad MRS_B = 1.Substituindo os consumos de equilíbrio (ver Passo 5) obtém-se de fato MRS_A=1 e MRS_B=1 (veja cálculo numérico rápido: para A com (2{,}5,2{,}5) tem MRS_A=2{,}5/2{,}5=1; para B com (1{,}5,3{,}5) tem MRS_B=(0{,}3/0{,}7)\cdot(3{,}5/1{,}5)=1).
  • A taxa marginal de transformação (MRT) na fronteira de produção é a taxa à qual a economia pode transformar Y em X dado o trabalho total. Com tecnologia linear X=L_X, Y=L_Y e restrição L_X+L_Y=L, a MRT absoluta é \text{MRT} = \frac{dY}{dX} \bigg|_{\text{fronteira}} = -1,isto é, para produzir uma unidade a mais de X é necessário renunciar a uma unidade de Y. Em termos de valor absoluto, a razão de troca produtiva é 1. Como p_X/p_Y=1, temos p_X/p_Y=\text{(valor absoluto da) MRT}.
  • Conclusão: no equilíbrio competitivo encontramos MRS_A = MRS_B = \frac{p_X}{p_Y} = \text{MRT},que é a condição de eficiência de Pareto (para alocação interna e entre consumidores). Logo o equilíbrio descentralizado é Pareto-eficiente.

Passo 7

Interpretação econômica e relação com o Primeiro Teorema do Bem-Estar (explicação intuitiva e curta).
  • Interpretação: os preços igualam as taxas marginais de substituição dos consumidores à taxa à qual a tecnologia transforma um bem no outro (MRT). Isso significa que o mercado, por meio dos preços, coordena as escolhas dos consumidores e a alocação do trabalho entre firmas de forma que não exista re-alocação viável que melhore alguém sem prejudicar outro. Em palavras mais simples: o preço relativo p_X/p_Y informa tanto os consumidores (como trocar X por Y) quanto os produtores (quanto custa produzir X em termos de Y); quando essas informações coincidem, o resultado é eficiente.
  • Ligação com o Primeiro Teorema do Bem-Estar: esse teorema afirma que, sob hipóteses padrão (concorrência perfeita, preferências convexas, tecnologias contínuas e livres entradas com retornos constantes levando a lucros nulos, etc.), todo equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente. O exercício é uma aplicação direta desse teorema: encontrámos um equilíbrio competitivo (preços iguais e alocações dadas acima) e verificámos as condições de eficiência (igualdade de MRS e MRT), portanto o equilíbrio é Pareto-eficiente.

Resposta

(a) Preços de equilíbrio: p_X=p_Y=1 (com a unidade monetária tal que o salário w=1). Demandas individuais gerais:
X_A=\frac{0,5\,L_A}{1}=0,5\,L_A,\quad Y_A=0,5\,L_A,
X_B=\frac{0,3\,L_B}{1}=0,3\,L_B,\quad Y_B=0,7\,L_B,
com L_A+L_B=10. Oferta e produção de equilíbrio:
X^*=0,5\,L_A+0,3\,L_B,\qquad Y^*=0,5\,L_A+0,7\,L_B.
(Exemplo numérico simétrico L_A=L_B=5: (X_A,Y_A)=(2{,}5,2{,}5), (X_B,Y_B)=(1{,}5,3{,}5), X^*=4, Y^*=6.)
(b) Sim. O equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente: em equilíbrio tem-se MRS_A=MRS_B=p_X/p_Y=1 e isso coincide com a MRT da tecnologia, satisfazendo as condições de eficiência de Pareto.
(c) Interpretação: os preços coordenam consumidores e produtores — o preço relativo iguala as taxas marginais de substituição e a taxa marginal de transformação, impedindo melhorias paretianas. Isto ilustra o Primeiro Teorema do Bem-Estar: sob concorrência perfeita e suposições usuais, o equilíbrio de mercado descentralizado é Pareto-eficiente.

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