Em um ecossistema, três espécies e competem por recursos naturais. A evolução de suas populações é governada pelo sistema:
(a) Encontre a solução do problema para qualquer instante de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um sistema de três equações diferenciais que modelam a competição entre três espécies, $ x_1(t) $, $ x_2(t) $ e $ x_3(t) $, ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema para qualquer instante de tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear aplicados a sistemas de equações diferenciais, como encontrar autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso facilita bastante a hora de resolver. O sistema dado é:
l d x1d t = -2 x1 + x2 d x2d t = x1 - x2 + x3 d x3d t = x2 - 2 x3
Podemos representar isso como:
dxdt = A x
onde $ \mathbf{x} = x = x1 x2 x3 $ e a matriz $ A $ é:
A
Passo 3
Agora, para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
Com os autovalores em mãos, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Vamos começar com $ \lambda_1 = -3 $:
Resolvendo $ (A + 3I)\mathbf{v} = 0 $:
$$ lambda lambda1 = -3
(A + 3I)v = 0
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos um autovetor associado a $ \lambda_1 = -3 $:
1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Agora, para $ \lambda_2 = -1 $, que é um autovalor de multiplicidade 2:
Resolvendo $ (A + I)\mathbf{v} = 0 $:
$$ lambda1 = -3 v1 = 1 -1 1
lambda2 = -1
$$
Resolvendo, encontramos um autovetor:
(A + I)v = 0
E como o autovalor $ -1 $ tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um segundo autovetor linearmente independente. Podemos considerar:
-1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Passo 5
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3