Em um ecossistema, três espécies x1(t), x2(t) e x3(t) competem por recursos naturais. A evolução de suas populações é governada pelo sistema:
l d x1d t=-2 x1+x2 d x2d t=x1-x2+x3 d x3d t=x2-2 x3
(a) Encontre a solução do problema para qualquer instante de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um sistema de três equações diferenciais que modelam a competição entre três espécies, $ x_1(t) $, $ x_2(t) $ e $ x_3(t) $, ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema para qualquer instante de tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear aplicados a sistemas de equações diferenciais, como encontrar autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso facilita bastante a hora de resolver. O sistema dado é:
l d x1d t = -2 x1 + x2 d x2d t = x1 - x2 + x3 d x3d t = x2 - 2 x3
Podemos representar isso como:
dxdt = A x
onde $ \mathbf{x} = x = x1 x2 x3 $ e a matriz $ A $ é:
A

Passo 3

Agora, para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
A
onde $ I $ é a matriz identidade. Vamos calcular:
lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
Simplificando:
I
A - lambda I = -2 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 1 0 & 1 & -2 - lambda
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)[(-1 - lambda)(-2 - lambda) - (1)(1)] - 1[1(-2 - lambda) - (1)(0)] + 0 = 0
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores:
(-2 - lambda)[(1 + lambda)(2 + lambda) - 1] - 1(-2 - lambda) = 0

Passo 4

Com os autovalores em mãos, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Vamos começar com $ \lambda_1 = -3 $:
Resolvendo $ (A + 3I)\mathbf{v} = 0 $:

$$
lambda
lambda1 = -3

(A + 3I)v = 0
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos um autovetor associado a $ \lambda_1 = -3 $:
1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Agora, para $ \lambda_2 = -1 $, que é um autovalor de multiplicidade 2:
Resolvendo $ (A + I)\mathbf{v} = 0 $:

$$
lambda1 = -3
v1 = 1 -1 1

lambda2 = -1
$$
Resolvendo, encontramos um autovetor:
(A + I)v = 0
E como o autovalor $ -1 $ tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um segundo autovetor linearmente independente. Podemos considerar:
-1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores encontrados:
x(t) = c1 e^-3t 1 -1 1 + c2 e^-t 1 1 1 + c3 e^-t 1 0 -1

Resposta

A solução geral do sistema para qualquer instante de tempo $ t $ é:
t
onde $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $ são constantes que podem ser determinadas a partir das condições iniciais do problema.

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