(a) Qual fórmula de integração se obtém nesse caso?
(b) Use-a para calcular
. Qual a vantagem em relação ao método de Simpson?
© Refine o cálculo da integral do item (b) usando a fórmula com repetições (para dois subintervalos e para 4 sub-intervalos). Como se comporta o erro em relação a
? (Use o valor exato da integral para comparações.)
(b) Use-a para calcular
© Refine o cálculo da integral do item (b) usando a fórmula com repetições (para dois subintervalos e para 4 sub-intervalos). Como se comporta o erro em relação a
Passo 1
O enunciado pede para integrar a função singular
em
e compara a regra de Simpson com uma regra que não exige avaliação em
, já que ali
. Vamos usar Newton–Cotes de um ponto interno (regra do ponto‐médio).
Passo 2
Na regra do ponto‐médio, tomamos um só nó no meio do intervalo. Se quisermos aproximar
ficamos com
Essa é uma fórmula de Newton–Cotes de grau de exatidão 1 que não usa
nem
.
Passo 3
Aplicando-a a
temos
A vantagem sobre Simpson é que Simpson exige
e
, mas
é infinito, então Simpson falha. A regra do ponto‐médio só usa
, que é finito.
Passo 4
Para melhorar, usamos a fórmula composta do ponto‐médio: dividimos
em
subintervalos iguais de comprimento
e somamos
onde
Passo 5
Com
(
) os pontos médios são
e
, e
O valor exato é 2, então o erro é
Passo 6
Com
(
) os médios são
e
O erro é
Passo 7
Comparando erros quando
foi de 0.5 para 0.25, o erro passou de ~0.42265 para ~0.30116, uma razão ~0.71. Como
, concluímos que o erro decai como
Resposta
(a) A regra de Newton–Cotes de um ponto interno (ponto‐médio):
(b) Para
© Composta em 2 subintervalos: aproximado=1.57735 (erro=0.42265). Em 4: aproximado=1.69884 (erro=0.30116). O erro decai como