(a) Qual fórmula de integração se obtém nesse caso?
(b) Use-a para calcular integral0^1 1raizx d x. Qual a vantagem em relação ao método de Simpson?
© Refine o cálculo da integral do item (b) usando a fórmula com repetições (para dois subintervalos e para 4 sub-intervalos). Como se comporta o erro em relação a h? (Use o valor exato da integral para comparações.)

Passo 1

O enunciado pede para integrar a função singular f(x)=x^-1/2 em [0,1] e compara a regra de Simpson com uma regra que não exige avaliação em x=0, já que ali f(0)=infty. Vamos usar Newton–Cotes de um ponto interno (regra do ponto‐médio).

Passo 2

Na regra do ponto‐médio, tomamos um só nó no meio do intervalo. Se quisermos aproximar
integrala^b f(x),dx,
ficamos com
integrala^b f(x),dxapprox (b-a),fl(tfraca+b2r)
Essa é uma fórmula de Newton–Cotes de grau de exatidão 1 que não usa f(a) nem f(b).

Passo 3

Aplicando-a a
integral0^1 x^-1/2,dx
temos a=0, b=1 e o único nó x=0.5. Logo a aproximação é
(1-0),f(0.5)=1cdot1raiz0.5=raiz2approx1.4142
A vantagem sobre Simpson é que Simpson exige f(0) e f(1), mas f(0) é infinito, então Simpson falha. A regra do ponto‐médio só usa f(0.5), que é finito.

Passo 4

Para melhorar, usamos a fórmula composta do ponto‐médio: dividimos [0,1] em N subintervalos iguais de comprimento h=1/N e somamos
integral0^1 x^-1/2,dxapprox hsumi=1^N fl(xi-1+tfrac h2r),
onde xi-1=(i-1)h.

Passo 5

Com N=2 ( h=0.5) os pontos médios são 0.25 e 0.75, e
aproxN=2=0.5l(tfrac1raiz0.25+tfrac1raiz0.75r)=0.5l(2+1.1547r)=1.57735
O valor exato é 2, então o erro é
|2-1.57735|=0.42265

Passo 6

Com N=4 ( h=0.25) os médios são 0.125,0.375,0.625,0.875 e
aproxN=4=0.25l(tfrac1raiz0.125+tfrac1raiz0.375+tfrac1raiz0.625+tfrac1raiz0.875r) =0.25,(2.8284+1.63299+1.26491+1.06904)=1.69884
O erro é
|2-1.69884|=0.30116

Passo 7

Comparando erros quando h foi de 0.5 para 0.25, o erro passou de ~0.42265 para ~0.30116, uma razão ~0.71. Como 0.5^1/2=0.7071, concluímos que o erro decai como
O(h^1/2)

Resposta

(a) A regra de Newton–Cotes de um ponto interno (ponto‐médio):
integrala^b f(x),dxapprox(b-a),fl(tfraca+b2r)
(b) Para integral0^1x^-1/2dx
1cdot f(0.5)=raiz2, e Simpson falha pois exige f(0)=infty. A vantagem é não usar os extremos.
© Composta em 2 subintervalos: aproximado=1.57735 (erro=0.42265). Em 4: aproximado=1.69884 (erro=0.30116). O erro decai como O(h^1/2).

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