Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais
e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para
termos de
. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais $ s_n $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} $. Vamos precisar entender o que são somas parciais, identificar que essa é uma série geométrica e usar as fórmulas apropriadas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o primeiro termo da série, ou seja, quando $ n = 1 $:
Então, o primeiro elemento é 2.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo termo ($ n = 2 $):
O segundo elemento é 2,4.
Passo 4
Vamos calcular o terceiro termo ($ n = 3 $):
O terceiro elemento é 2,48.
Passo 5
Agora, o quarto termo ($ n = 4 $):
O quarto elemento é 2,496.
Passo 6
Finalmente, o quinto termo ($ n = 5 $):
O quinto elemento é 2,4992.
Passo 7
Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $. Observamos que é uma série geométrica onde o primeiro termo $ a = 2 $ e a razão $ r = \frac{1}{5} $. A fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma série geométrica é:
Substituindo os valores:
Passo 8
Para determinar se a série é convergente ou divergente, analisamos o limite de $ s_n $ quando $ n $ tende ao infinito. Como $ \left(\frac{1}{5}\right)^n $ tende a zero quando $ n $ cresce, temos:
Como o limite existe e é finito, a série é convergente.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} $ é convergente e sua soma é igual a 2,5.