Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais sn e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
(d) sumn=1^infty 25^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais $ s_n $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} $. Vamos precisar entender o que são somas parciais, identificar que essa é uma série geométrica e usar as fórmulas apropriadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro termo da série, ou seja, quando $ n = 1 $:
n = 1
Então, o primeiro elemento é 2.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo ($ n = 2 $):
n = 2
O segundo elemento é 2,4.

Passo 4

Vamos calcular o terceiro termo ($ n = 3 $):
n = 3
O terceiro elemento é 2,48.

Passo 5

Agora, o quarto termo ($ n = 4 $):
n = 4
O quarto elemento é 2,496.

Passo 6

Finalmente, o quinto termo ($ n = 5 $):
n = 5
O quinto elemento é 2,4992.

Passo 7

Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $. Observamos que é uma série geométrica onde o primeiro termo $ a = 2 $ e a razão $ r = \frac{1}{5} $. A fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma série geométrica é:
sn
Substituindo os valores:
a = 2

Passo 8

Para determinar se a série é convergente ou divergente, analisamos o limite de $ s_n $ quando $ n $ tende ao infinito. Como $ \left(\frac{1}{5}\right)^n $ tende a zero quando $ n $ cresce, temos:
sn
Como o limite existe e é finito, a série é convergente.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} $ é convergente e sua soma é igual a 2,5.

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