Um edifício coleta a água de chuva num reservatório subterrâneo. No alto do edifício, a 25 metros do nível da rua, há um reservatório de 4000 litros que deve ser enchido em 1 hora. Dimensione a potência de uma bomba capaz de fornecer a vazão necessária, considerando um rendimento de 75 \%. A tubulação será de 3 " de diâmetro interno. O nível do reservatório subterrâneo é de 1,0 metro abaixo da rua, e pode ser considerado constante durante o bombeamento. Resposta: 385W.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência da bomba:
  • Volume a ser bombeado: \,4000\\ \text{L}.
  • Tempo de enchimento: \,1\\ \text{h}.
  • Altura do reservatório no alto do edifício em relação ao nível da rua: \,25\\ \text{m}.
  • Nível do reservatório subterrâneo: \,1{,}0\\ \text{m} abaixo da rua.
  • Diâmetro interno da tubulação: \,3'' (polegadas).
  • Rendimento (eficiência) da bomba: \,\eta = 75\% = 0{,}75.
O que se pede: dimensionar a potência elétrica (ou mecânica na entrada da bomba) necessária para fornecer a vazão requerida considerando o rendimento indicado.

Passo 2

Converter a vazão para unidades SI e obter a vazão volumétrica (Q).
O volume a bombear é 4000\\ \text{L}=4{,}0\\ \text{m}^3. O tempo é 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}. Portanto
Q=\frac{4{,}0}{3600}=\frac{1}{900}\\ \text{m}^3/\text{s}\approx0{,}001111\dots\\ \text{m}^3/\text{s}.
Definição: Q é a vazão volumétrica, em \text{m}^3/\text{s}.

Passo 3

Calcular a diferença de nível (carga de elevação) entre superfície livre do reservatório de sucção (subterrâneo) e a superfície livre do reservatório superior.
O reservatório superior está a +25\\ \text{m} relativo à rua. O reservatório subterrâneo está a -1{,}0\\ \text{m}. Logo a elevação necessária é
\Delta z = 25 - (-1{,}0)=26{,}0\\ \text{m}.
Esta \Delta z é a principal componente da carga hidráulica que a bomba deve vencer.

Passo 4

Calcular a velocidade média da água na tubulação (para estimar perdas por atrito).
Primeiro converter o diâmetro: 1''=0{,}0254\\ \text{m}, então
D = 3'' = 3\times 0{,}0254 = 0{,}0762\\ \text{m}.
Área da seção interna:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Calculando numericamente:
A=\frac{\pi (0{,}0762)^2}{4}\approx 4{,}562\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}\approx\frac{1/900}{4{,}562\times10^{-3}}\approx0{,}244\\ \text{m/s}.
Interpretação: essa é uma velocidade baixa, o que normalmente reduz perdas por atrito.

Passo 5

Estimar se o escoamento é laminar ou turbulento e obter um fator de atrito aproximado.
Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \nu (viscosidade cinemática da água) vale aproximadamente 1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} à temperatura ambiente. Assim
\mathrm{Re}\approx\frac{0{,}244\times0{,}0762}{1{,}0\times10^{-6}}\approx1{,}86\times10^{4},
ou seja, turbulento ( \mathrm{Re}>2300). Para tubulação lisa e regime turbulento pode-se usar a fórmula de Blasius (aproximação prática para tubos lisos e 4\times10^3<\mathrm{Re}<10^5):
f\approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Calculando:
f\approx0{,}3164\times(1{,}86\times10^{4})^{-1/4}\approx0{,}0271.
Aqui f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (adimensional).

Passo 6

Calcular perdas por atrito longitudinais (fórmula de Darcy–Weisbach) e avaliar sua importância.
Perda de carga por atrito:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde L é o comprimento da tubulação e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2. Como o dado essencial é a elevação vertical \Delta z=26{,}0\\ \text{m}, assumimos inicialmente que o comprimento útil da tubulação é, no mínimo, essa elevação: L\approx26{,}0\\ \text{m}. Então
\frac{V^2}{2g}\approx\frac{(0{,}244)^2}{2\times9{,}81}\approx0{,}00303\\ \text{m},
\frac{L}{D}=\frac{26{,}0}{0{,}0762}\approx341{,}2,
h_f\approx0{,}0271\times341{,}2\times0{,}00303\approx0{,}028\\ \text{m}.
Conclusão: perdas por atrito ao longo do tubo são muito pequenas (ordem de centímetros) devido à baixa vazão e à área relativamente grande da seção.

Passo 7

Incluir perdas locais (válvulas, curvas, entrada, eventual comprimento adicional da tubulação) — prática usual ao dimensionar bombas.
Mesmo que h_f seja pequena, instalações reais têm perdas locais que devem ser consideradas. Adota-se aqui uma estimativa conservadora para perdas locais h_\ell de aproximadamente 0{,}5\\ \text{m} (isso corresponde a alguns dispositivos, curvas e um pequeno excedente de comprimento de tubulação). Esta escolha é uma estimativa prática e justificada para não subdimensionar a bomba.
Portanto a carga hidráulica total a vencer é
H_\text{tot}=\Delta z + h_f + h_\ell \approx 26{,}0 + 0{,}028 + 0{,}5 \approx 26{,}528\\ \text{m}.

Passo 8

Calcular a potência hidráulica necessária (potência efetivamente entregue à água).
Fórmula da potência hidráulica:
P_\text{hid}=\rho g Q H_\text{tot},
onde \rho é a massa específica da água (usar \rho=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3) e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Substituindo:
P_\text{hid}=1000\times9{,}81\times\frac{1}{900}\times26{,}528.
Observe que 1000\times9{,}81\times\frac{1}{900}= \frac{1000}{900}\times9{,}81=1{,}111111\dots\times9{,}81\approx10{,}9.
Logo
P_\text{hid}\approx10{,}9\times26{,}528\approx289{,}16\\ \text{W}.

Passo 9

Considerar o rendimento da bomba para obter a potência na entrada (potência elétrica ou do motor).
Se a bomba tem rendimento \eta, a potência de eixo/motor necessária é
P_\text{motor}=\frac{P_\text{hid}}{\eta}.
Com \eta=0{,}75:
P_\text{motor}\approx\frac{289{,}16}{0{,}75}\approx385{,}55\\ \text{W}.
Arredondando para cifras práticas e considerando margens comerciais, isso corresponde a aproximadamente 385\\ \text{W}.

Resposta

385\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados