Um sistema bombeia água de um reservatório aberto até outro reservatório aberto, situados no mesmo nível, mas separados por uma distância de 200 m de r tubulaçāo. As perdas de carga totais somam 12 m,e a velocidade de escoamento na tubulação é 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a altura manométrica da bomba. Resp: 12,5 m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dados fornecidos:
    • Distância da tubulação: 200\\ \mathrm{m} (essa distância não entra diretamente no cálculo da altura manométrica, mas está no enunciado).
    • Perdas de carga totais: h_L = 12\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de escoamento na tubulação: v = 3\\ \mathrm{m/s}.
    • Os dois reservatórios são abertos e estão no mesmo nível (mesma cota).
  • Pedido:
    • Calcular a altura manométrica da bomba (ou seja, a altura que a bomba precisa fornecer, em metros).

Passo 2

Conceito e equação que vamos usar (explicação didática):
  • A altura manométrica da bomba H_b é a energia por unidade de peso que a bomba adiciona ao fluido. Em termos práticos, a bomba deve suprir a diferença de energia entre os pontos considerados mais as perdas.
  • A forma conveniente é usar a equação de Bernoulli com a contribuição da bomba e com perdas de carga somadas:
z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + H_b = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_L.
Explanação das variáveis (de forma simples):
  • z: elevação geométrica (m).
  • p: pressão absoluta no ponto (Pa).
  • \gamma: peso específico do fluido ( \mathrm{N/m^3}).
  • v: velocidade média do fluido (m/s).
  • g: aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • H_b: altura manométrica fornecida pela bomba (m).
  • h_L: perdas de carga totais entre os pontos escolhidos (m).

Passo 3

Aplicando a equação ao problema (passo a passo e justificando suposições):
  • Vamos tomar os pontos 1 e 2 como as superfícies livres dos reservatórios (pontos de referência usuais). Como os reservatórios são abertos, as pressões na superfície são iguais e iguais à atmosférica, então \dfrac{p_1}{\gamma}=\dfrac{p_2}{\gamma} e se cancelam.
  • As superfícies estão no mesmo nível, então z_1 = z_2 e esses termos também se cancelam.
  • Normalmente as superfícies livres dos reservatórios têm velocidade desprezível (reservatório muito maior que a tubulação), então v_1 \approx 0 e v_2 \approx 0. A velocidade relevante de 3\\ \mathrm{m/s} é a velocidade na tubulação; quando o fluxo entra/saí para o reservatório, essa energia cinética precisa ser considerada como diferença de cabeça (ou irá se dissipar ao entrar no reservatório). Assim, ao aplicar a equação entre superfícies livres:
H_b = h_L + \frac{v^2}{2g},
onde \dfrac{v^2}{2g} é a chamada “carga de velocidade” (velocity head) associada à velocidade do fluido na tubulação. Observação: se ambas as superfícies tivessem a mesma velocidade (ex.: tubulação que liga dois tanques com mesmas áreas), os termos de velocidade se cancelariam; aqui assumimos que as superfícies dos reservatórios têm velocidade desprezível, então sobra a velocidade da tubulação.

Passo 4

Cálculo numérico da carga de velocidade e da altura manométrica:
  • Primeiro calculemos a carga de velocidade:
\frac{v^2}{2g} = \frac{(3)^2}{2\cdot 9{,}81}.
Passo a passo:
3^2 = 9, \qquad 2\cdot 9{,}81 = 19{,}62,
\frac{9}{19{,}62} \approx 0{,}4587\\ \mathrm{m}.
  • Agora somamos as perdas de carga:
H_b = h_L + \frac{v^2}{2g} = 12 + 0{,}4587 \approx 12{,}4587\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma casa decimal (como na resposta fornecida):
H_b \approx 12{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e interpretação:
  • h_L está em metros, \dfrac{v^2}{2g} também dá metros, então a soma tem unidade consistente (metros).
  • Interpretação física: a bomba precisa fornecer as perdas ao longo da tubulação (12 m) mais a energia cinética associada à velocidade do jato de saída que se perde ao entrar no reservatório (aprox. 0,46 m), totalizando ~12,5 m. Está tudo coerente.

Resposta

12{,}5\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados