Um tubo de diâmetro constante de 50 cm , transporta água a uma vazão de 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Uma bomba é usada para elevar a água de uma posição de 30 m para 40 m . A pressão na seção na entrada da bomba é 70 Kpa e a pressão saída da bomba é de 350 Kpa . Que potência deve ser fornecida ao escoamento pela bomba? Dados: Rendimento = 70%; (Resposta: 369 CV)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência que deve ser fornecida ao escoamento pela bomba.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem/enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Cota de entrada: z_{1}=30\\ \mathrm{m}.
  • Cota de saída: z_{2}=40\\ \mathrm{m}.
  • Pressão na entrada da bomba: p_{1}=70\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão na saída da bomba: p_{2}=350\\ \mathrm{kPa}.
  • Rendimento da bomba: \eta=70\% = 0{,}70.
O que é pedido: potência a ser fornecida ao escoamento pela bomba (ou seja, potência que a bomba deve entregar ao fluido) e, considerando o rendimento, a potência necessária no eixo/ motor caso seja pedido o fornecimento ao equipamento. Vou achar primeiro a potência hidráulica adicionada ao fluido e depois a potência de entrada ao eixo usando o rendimento.

Passo 2

Conceito físico / fórmula que vamos usar (explicando cada termo): a bomba adiciona uma “carga” (head) ao escoamento. Usando a forma energética da equação de Bernoulli entre a seção antes e depois da bomba, incluindo a potência fornecida pela bomba em termos de altura (head) temos:
h_{p}=\frac{p_{2}-p_{1}}{\gamma}+(z_{2}-z_{1})+\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2g},
onde:
  • h_{p} é a altura equivalente (em metros) que a bomba adiciona ao fluido;
  • p_{1},p_{2} são as pressões absoluta/estadas nas seções (em Pa);
  • \gamma=\rho g é o peso específico do fluido (em N/m^{3}); para água usamos \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g será especificado abaixo;
  • z_{1},z_{2} são as elevações geométricas (em m);
  • v_{1},v_{2} são as velocidades médias nas seções (em m/s);
  • g é a aceleração da gravidade (em m/s^{2}).
A potência hidráulica fornecida ao escoamento é:
P_{h}=\gamma\,Q\,h_{p},
onde Q é a vazão volumétrica (m^{3}/s).
A potência de eixo (potência que deve ser fornecida ao motor) é:
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{h}}{\eta}.
Vou calcular v, mostrar que v_{1}=v_{2} (mesmo diâmetro) e então calcular h_{p}, P_{h} e P_{\text{eixo}}. Para obter exatamente o resultado indicado na resposta fornecida, vou adotar as aproximações clássicas usadas em muitos exercícios: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e 1\\ \mathrm{CV}=735\\ \mathrm{W}. Aviso: se usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e 1\\ \mathrm{CV}=0{,}7355\\ \mathrm{kW} o valor em CV muda ligeiramente; explico isso onde for necessário.

Passo 3

Calcular a área da seção e a velocidade média (para mostrar que v_{1}=v_{2}):
Área da seção:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0,50)^{2}}{4}.
Calcule:
A=\pi\cdot 0{,}0625 \approx 0{,}19635\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}5}{0{,}19635}\approx 2{,}55\\ \mathrm{m/s}.
Como o diâmetro é constante, v_{1}=v_{2}=v e portanto o termo \dfrac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2g}=0. Assim a contribuição cinética ao salto de carga é nula.

Passo 4

Escolha de constantes e conversões (para coincidir com a resposta do enunciado):
  • Vou usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, então
\gamma=\rho g =1000\cdot 10 =10000\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Diferença de pressão:
p_{2}-p_{1}=(350-70)\\ \mathrm{kPa}=280\\ \mathrm{kPa}=280000\\ \mathrm{Pa}.
Agora calculo o head fornecido pela bomba:
h_{p}=\frac{p_{2}-p_{1}}{\gamma}+(z_{2}-z_{1}) =\frac{280000}{10000}+ (40-30).
Calcule:
\frac{280000}{10000}=28\\ \mathrm{m}, \qquad z_{2}-z_{1}=10\\ \mathrm{m},
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h_{p}=28+10=38\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Potência hidráulica fornecida ao escoamento:
P_{h}=\gamma\,Q\,h_{p}=10000\cdot 0{,}5\cdot 38.
Calcule:
P_{h}=10000\cdot 19 =190000\\ \mathrm{W}=190\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Potência de eixo (considerando rendimento \eta=0{,}70):
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{190000}{0{,}70}=271428{,}571\\ \mathrm{W}\approx 271{,}43\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Converter para cavalos-vapor ( \mathrm{CV}). Usando a convenção clássica 1\\ \mathrm{CV}=735\\ \mathrm{W}:
P_{\text{eixo\,(CV)}}=\frac{271428{,}571}{735}\approx 369{,}2\\ \mathrm{CV}.
Arredondando, obtemos 369\\ \mathrm{CV}, que é a resposta indicada no enunciado.

Resposta

369 CV

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