Uma bomba transfere água de um reservatório inferior para um reservatório superior, localizado 15 m acima. A vazão é de 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Considerando perdas desprezíveis e a velocidade nos reservatórios aproximadamente nula, determine a altura manométrica da bomba e a potência fornecida pela bomba. Resp: 15m; 5,87 \mathrm{CV}=6 \mathrm{CV}
Dados: Densidade da água: 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; \eta \mathrm{B}=68 \%

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a altura manométrica da bomba.
  • Determinar a potência fornecida pela bomba (considerando eficiência).
Informações que o enunciado dá (vou listar exatamente os dados):
  • Diferença de cota entre reservatórios: \;15\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: \;20\\ \mathrm{L/s}.
  • Densidade da água: \;1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Rendimento (eficiência) da bomba: \;\eta_{B}=68\%.
  • Perdas desprezíveis e velocidade nos reservatórios aproximadamente nula.

Passo 2

Converter unidades para o SI e organizar os dados numéricos:
  • Vazão: \;20\\ \mathrm{L/s} = 20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,02\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Rendimento: \;\eta_{B}=0,68.
    Os outros dados já estão em unidades SI.

Passo 3

Definir o que é altura manométrica e por que aqui ela vale a diferença de cota.
  • Em termos de energia por unidade de peso (head), a altura manométrica da bomba H_m é a variação entre as energias específicas (pressão/( \rho g), velocidade^2/(2g) e cota) na sucção e na calha, mais as perdas. A forma geral (derivada do Bernoulli incluindo bomba e perdas) é:
H_m = \left(\frac{p_2}{\rho g} - \frac{p_1}{\rho g}\right) + \left(\frac{\alpha_2 V_2^2}{2g} - \frac{\alpha_1 V_1^2}{2g}\right) + (z_2 - z_1) + h_{loss},
onde cada termo representa: diferença de pressão estática por peso, diferença de energia cinética por peso (coeficientes de correção \alpha), diferença de cota, e perdas.
  • No problema: as superfícies livres em ambos os reservatórios estão à pressão atmosférica (mesma pressão), a velocidade média nas superfícies é aproximadamente nula ( V_1\approx V_2\approx0), e as perdas são desprezíveis ( h_{loss}\approx0). Logo só fica o termo de cota:
H_m = z_2 - z_1 = 15\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura manométrica da bomba é \;15\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a potência hidráulica (potência entregue ao fluido) usando a relação entre vazão, carga e densidade:
  • Fórmula da potência hidráulica:
P_{h} = \rho\, g\, Q\, H_m,
onde \rho é a densidade do fluido, g a gravidade, Q a vazão volumétrica e H_m a altura manométrica.
  • Substituindo os valores:
P_{h} = 1000\cdot 9,81\cdot 0,02\cdot 15.
Vou fazer passo a passo:
0,02\cdot 15 = 0,30,
9,81\cdot 0,30 = 2,943,
1000\cdot 2,943 = 2943\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência hidráulica é \;2943\\ \mathrm{W} (ou \;2,943\\ \mathrm{kW}).

Passo 5

Incluir o rendimento da bomba para obter a potência fornecida (potência no eixo / elétrica demandada pela bomba).
  • Se a bomba tem rendimento \eta_{B}, a potência útil no fluido é P_h = \eta_{B}\,P_{fornecida}. Assim:
P_{fornecida} = \frac{P_{h}}{\eta_{B}}.
  • Substituindo:
P_{fornecida} = \frac{2943}{0,68} = 4327,941\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).
Arredondando com sentido prático: \;P_{fornecida}\approx 4328\\ \mathrm{W} = 4,328\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Converter a potência para unidades práticas (cavalo-vapor métrico, CV) e arredondar para seleção comercial.
  • Relação: \;1\\ \mathrm{CV} = 735,49875\\ \mathrm{W}.
  • Converter:
P_{fornecida\\ (CV)} = \frac{4327,941}{735,49875} \approx 5,87\\ \mathrm{CV}.
  • Como máquinas são comercialmente encontradas em potências inteiras, escolhe-se \;6\\ \mathrm{CV} como potência comercial mais próxima para garantir folga.

Resposta

15 m
5,87\\ \mathrm{CV}\approx 4,33\\ \mathrm{kW}\approx 4328\\ \mathrm{W} (aproximadamente 6\\ \mathrm{CV})

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