Um edifício iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento \mathrm{L}=72,0 \mathrm{~m}. Simultaneamente, uma vara vertical de 2,50 \mathrm{~m} de altura colocada ao lado do edifício projeta uma sombra de comprimento \ell=3,00 \mathrm{~m}. Qual é a altura do edifício?
a) 90,0 \mathrm{~m}
b) 86,0 \mathrm{~m}
c) 60,0 \mathrm{~m}
d) 45,0 \mathrm{~m}
e) n. d. a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a altura do edifício:
  • Comprimento da sombra do edifício: \mathrm{L}=72,0\\ \mathrm{m}.
  • Altura da vara colocada ao lado do edifício: h=2,50\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da sombra da vara: \ell=3,00\\ \mathrm{m}.
Pergunta: Qual é a altura do edifício? (escolha entre as alternativas dadas)

Passo 2

Idea física e geométrica básica (explicação didática): os raios solares que formam as sombras podem ser considerados paralelos entre si (o Sol está muito distante). Isso significa que o ângulo de elevação dos raios em relação ao solo é o mesmo para o edifício e para a vara. Geometricamente, isso cria dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo além do ângulo reto, portanto esses triângulos são similares (mesma forma, tamanhos diferentes). Quando dois triângulos são similares, os comprimentos de seus lados correspondentes são proporcionais. Vou usar isso para relacionar alturas e sombras.

Passo 3

Conceito de semelhança e proporção (mini-aula): se dois triângulos são similares, então a razão entre duas medidas correspondentes de um triângulo é igual à razão entre as medidas correspondentes do outro triângulo. Em símbolos, se os triângulos correspondentes têm lados A e B no primeiro e a e b no segundo, então
\frac{A}{a}=\frac{B}{b}.
Aqui, as grandezas que correspondem são: altura do objeto e comprimento da sombra (o cateto vertical corresponde ao outro cateto vertical; o cateto horizontal da sombra corresponde ao outro cateto horizontal).

Passo 4

Aplicando ao problema (definição das variáveis): seja \;H\; a altura do edifício que queremos encontrar. As variáveis que já temos são \;L=72,0\\ \mathrm{m}\; (sombra do edifício), \;h=2,50\\ \mathrm{m}\; (altura da vara) e \;\ell=3,00\\ \mathrm{m}\; (sombra da vara). Pela semelhança dos triângulos, estabelecemos a proporção entre alturas e sombras:
\frac{H}{L}=\frac{h}{\ell}.
Expliquei: o numerador de cada fração é a altura (vertical) e o denominador é a sombra correspondente (horizontal); são lados correspondentes dos triângulos.

Passo 5

Isolando \;H\; na proporção: a partir de
\frac{H}{L}=\frac{h}{\ell},
multiplicamos ambos os lados por \;L\; para obter
H = L\cdot\frac{h}{\ell}.
Aqui cada símbolo significa: \;H\; é a altura do edifício (desconhecida), \;L\; é a sombra do edifício, \;h\; é a altura da vara e \;\ell\; é a sombra da vara.

Passo 6

Substituindo os números e fazendo as contas de forma prática (sem calculadora): substituímos \;L=72,0, \;h=2,50 e \;\ell=3,00:
H = 72,0\cdot\frac{2,50}{3,00}.
Para simplificar mentalmente, transformo as decimais em frações equivalentes:
\frac{2,50}{3,00}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.
Logo
H = 72,0\cdot\frac{5}{6}.
Fazendo a multiplicação e a divisão de forma simples: 72{,}0\div 6=12 e 12\cdot5=60. Portanto
H=60,0\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: a vara de 2,50\\ \mathrm{m} tem sombra 3,00\\ \mathrm{m}, ou seja a sombra é maior que a altura (raios relativamente rasos), então o edifício alto terá sombra grande; obtivemos H=60,0\\ \mathrm{m} para sombra 72,0\\ \mathrm{m}, que respeita a mesma razão. Faz sentido físico e está entre as opções.

Resposta

c) 60,0\\ \mathrm{m}

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