Muitos edificios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edificios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edificio se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), 0 bloco se move na mesma direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edificio.
Vamos supor que o bloco possui uma massa m=2,72 \times 10^{5} \mathrm{~kg} e que foi projetado para oscilar com uma frequência f=10,0 Hz e com uma amplitude x_{m}=20,0 \mathrm{~cm}.
(a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola?
(b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilibrio?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=2,72times10^5,kg ligado a uma mola e oscilando com frequência f=10,0,Hz e amplitude xm=20,0,cm. O conteúdo aqui é movimento harmônico simples (MHS). Para resolver precisamos das fórmulas
omega = 2pi f,
k = m,omega^2,
E = tfrac12,k,A^2,
vmax = omega,A,
onde A é a amplitude em metros.

Passo 2

Calculamos a pulsação omega e a constante elástica k. Primeiro convertemos a amplitude para metros: A=20,0,cm=0,200,m.
omega = 2pi f = 2pitimes10,0 = 20pi rad/sapprox62,8,rad/s
k = m,omega^2 = (2,72times10^5)(62,8)^2 approx1,07times10^9,N/m

Passo 3

Usamos E=tfrac12,k,A^2 para achar a energia mecânica total:
E = tfrac12times(1,07times10^9)times(0,200)^2 approx2,15times10^7,J

Passo 4

A velocidade ao passar pelo ponto de equilíbrio é a velocidade máxima do MHS:
vmax = omega,A = 62,8times0,200 approx12,6,m/s

Resposta

(a) Eapprox2,15times10^7,J
(b) vapprox12,6,m/s

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