Um objeto é lançado com velocidade de 20 m / s de cima de uma torre alta. A altura y do objeto como função do tempo t decorrido do lançamento é y(t)=-4,9 t^2+19,32 t+60, onde h está em metros e t em segundos. Determine: (a) a altura H da torre; (b) o ângulo de lançamento; (c) a distância horizontal percorrida pelo objeto antes de atingir o solo.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento de proje9til lane7ado do topo de uma torre. A altura vertical y em fune7e3o do tempo t e9 dada por
y(t) = -4,9,t^2 + 19,32,t + 60,
onde y este1 em metros e t em segundos. Precisamos determinar:
(a) a altura inicial H da torre;
(b) o e2ngulo de lane7amento theta;
(c) a diste2ncia horizontal percorrida ate9 o impacto.

Passo 2

Para achar a altura inicial basta avaliar y(t) em t=0. Como
y(0) = -4,9cdot 0^2 + 19,32cdot 0 + 60 = 60,
concluedmos que
H = 60 m

Passo 3

O termo linear em t em y(t) e9 dado por 19,32,t, que corresponde e0 componente vertical da velocidade inicial, ou seja,
vy0 = 19,32 m/s
Como o mf3dulo da velocidade inicial e9 20 m/s, a componente horizontal vx satisfaz
vx = raiz20^2 - vy0^2 = raiz400 - (19,32)^2 = raiz26,7376 approx 5,17 m/s
O e2ngulo de lane7amento theta em relae7e3o e0 horizontal e9 dado por
theta = arctanl(tfracvy0vxr) = arctanl(tfrac19,325,17r) approx 75,3^circ

Passo 4

Para determinar o tempo de voo tf, resolvemos y(tf)=0:
-4,9,tf^2 + 19,32,tf + 60 = 0
Aplicando a ff3rmula de Bhaskara,
tf = -19,32 pm raiz(19,32)^2 + 4cdot4,9cdot60-2cdot4,9 approx 5,99 s
(desprezando a raedz negativa).

Passo 5

Como na direce7e3o horizontal a velocidade e9 constante, a diste2ncia horizontal x e9
x = vx,tf approx 5,17cdot5,99 approx 31,0 m

Resposta

(a) H = 60 m
(b) theta approx 75,3^circ
(c) x approx 31,0 m

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