A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
onde
e
são constantes. Mostre que:
se
com
a solução geral da EDO é
, para
.
se
Passo 1
O enunciado apresenta uma EDO de Euler–Cauchy de ordem 2:
Temos a equação
Temos a equação
com constantes reais
e
, e precisamos mostrar que, quando as raízes
e
da equação característica são reais e distintas, a solução geral é da forma
.
Passo 2
Para resolver, vamos usar a técnica padrão de Euler–Cauchy: supor uma solução do tipo potencial
onde
é um parâmetro a determinar. Esta escolha aproveita o fato de os coeficientes dependerem de potências de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO original:
Passo 4
Substituição na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando
(não nulo para
):
Passo 5
Fatorando e obtendo a equação característica:
Esta é a equação quadrática em
.
Passo 6
Sejam
e
as raízes reais distintas de
Então duas soluções independentes da EDO são
e
.
Passo 7
Como a EDO é linear e de segunda ordem, a combinação linear geral destas soluções forma a solução geral:
válida para
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Este resultado se baseia no princípio de superposição de soluções de EDO lineares e na independência linear de
e
quando
.
Resposta
y(x)=C_{1}x{r_{1}}+C_{2}x{r_{2}}