A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
x^2 cdot d^2 yd x^2+p x cdot d yd x+q y=0, para x>0
onde p e q são constantes. Mostre que:
se r1, r2 in R com r1 neq r2 a solução geral da EDO é y(x)=C1 x^r1+C2 x^r2, para x>0.

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO de Euler–Cauchy de ordem 2:
Temos a equação
x^2d^2ydx^2+p,xdydx+q,y=0,
com constantes reais p e q, e precisamos mostrar que, quando as raízes r1 e r2 da equação característica são reais e distintas, a solução geral é da forma y(x)=C1x^r1+C2x^r2.

Passo 2

Para resolver, vamos usar a técnica padrão de Euler–Cauchy: supor uma solução do tipo potencial
y(x)=x^r,
onde r é um parâmetro a determinar. Esta escolha aproveita o fato de os coeficientes dependerem de potências de x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y=x^r:
dydx=r,x^r-1,
d^2ydx^2=r(r-1),x^r-2
Substituindo na EDO original:

Passo 4

Substituição na equação:
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+p,xl[r,x^r-1r]+q,x^r=0
Simplificando cada termo:
r(r-1)x^r+pr,x^r+q,x^r=0
Fatorando x^r (não nulo para x>0):

Passo 5

Fatorando e obtendo a equação característica:
x^rl[r(r-1)+pr+qr]=0 Longrightarrow r(r-1)+pr+q=0
Esta é a equação quadrática em r.

Passo 6

Sejam r1 e r2 as raízes reais distintas de
r^2+(p-1)r+q=0
Então duas soluções independentes da EDO são y1(x)=x^r1 e y2(x)=x^r2.

Passo 7

Como a EDO é linear e de segunda ordem, a combinação linear geral destas soluções forma a solução geral:
y(x)=C1x^r1+C2x^r2,
válida para x>0, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Este resultado se baseia no princípio de superposição de soluções de EDO lineares e na independência linear de x^r1 e x^r2 quando r1neq r2.

Resposta

y(x)=C_{1}x{r_{1}}+C_{2}x{r_{2}}

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