Assumindo que x in(0,1), simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: f2(x)=cos (2 arccos x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função onde está entre 0 e 1. A ideia é simplificar essa expressão eliminando as funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender um pouquinho sobre funções inversas como o .

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar as coisas fazendo uma substituição. Vamos chamar o theta = arccos x de cos(theta) = x , ou seja:
Isso significa que:
Essa substituição vai ajudar a gente a utilizar as identidades trigonométricas de forma mais simples.

Passo 3

Agora, queremos simplificar cos(2theta) = 2cos^2(theta) - 1 . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos diz como expressar o cosseno de um ângulo dobrado. A identidade que vamos usar é:
Essa fórmula nos permite reescrever o cosseno de em termos de .

Passo 4

Substituindo cos(2theta) = 2x^2 - 1 por f2(x) = cos(2 arccos x) = 2x^2 - 1 na identidade que usamos, ficamos com:
Lembre-se que , então voltando à nossa função original:

Resposta

f2(x) = 2x^2 - 1

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