Parte A
  1. Encontre a solução geral das Equações abaixo:
    b) \frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial \frac{dy}{dx}=e^{x+y}, que é uma ODE de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis e integrar em cada lado.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como produto de funções de x e de y:
\frac{dy}{dx}=e^x\,e^y,
e em seguida separando as variáveis:
e^{-y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{-y}\,dy = \int e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-y} = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, escrevemos
e^{-y} = -\,e^x - C = C_1 - e^x
com C_1=-C. Aplicando o logaritmo natural:
-y = \ln\bigl(C_1 - e^x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(C_1 - e^x\bigr).

Resposta

A solução geral é
y(x) = -\ln\bigl(C - e^x\bigr),
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados