Uma EDO é linear de ordem 1 se pode ser escrita na forma d yd t+P y=f onde P e f são funções de uma única variável, no caso t, ou então constantes. Resolva as equações lineares de primeira ordem.
d yd x-2 yx+1=(x+1)^52

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem da forma dydx+P(x),y=f(x), com P(x)=-2x+1 e f(x)=(x+1)^5/2. Vamos usar o fator integrante para chegar à solução geral.

Passo 2

Para identificar o fator integrante, primeiro calculamos mu(x)=expl(integral P(x),dxr). Aqui
mu(x)=expl(integral -2x+1,dxr)=expl(-2ln|x+1|r)=|x+1|^-2

Passo 3

Como estamos interessados em intervalos onde x+1>0, podemos tomar mu(x)=(x+1)^-2. Multiplicamos a EDO original por mu(x). O lado esquerdo fica derivada exata:
(x+1)^-2dydx-2(x+1)^-3y=ddxl(y,(x+1)^-2r)

Passo 4

O lado direito será
(x+1)^-2,(x+1)^5/2=(x+1)^1/2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,(x+1)^-2r),dx=integral (x+1)^1/2,dx

Passo 6

A integral do lado direito é
integral (x+1)^1/2,dx=23(x+1)^3/2+C,
logo
y,(x+1)^-2=23(x+1)^3/2+C

Passo 7

Para obter y, basta isolar:
y=(x+1)^2l(23(x+1)^3/2+Cr)=23(x+1)^7/2+C,(x+1)^2

Resposta

y=tfrac23(x+1)^7/2+C,(x+1)^2, onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados