Vamos resolver a equação diferencial homogênea . Esse tipo de equação envolve funções homogêneas, que têm o mesmo grau em x e y. Para resolver, vamos precisar utilizar a substituição que simplifica a equação, transformando-a em uma equação separável.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer a substituição , onde é uma nova variável. Assim, podemos expressar como .
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Fatorando :
Passo 6
Dividimos toda a equação por para simplificar:
Passo 7
Expandimos os termos:
Passo 8
Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Isolamos :
Dividindo ambos os lados por :
Passo 10
Rearranjamos para separar as variáveis e :
Passo 11
Simplificamos a fração do lado esquerdo. Note que o numerador pode ser fatorado como e o denominador pode ser fatorado como :
Simplificando:
Passo 12
Integramos ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 13
Substituímos de volta na equação:
Podemos simplificar a expressão:
ln|(y + x2y + x)^23| = -ln|x| + C
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: