Resolva a equação homogênea (3 x+5 y) d x+(4 x+6 y) d y=0.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea (3x + 5y) dx + (4x + 6y) dy = 0. Esse tipo de equação envolve funções homogêneas, que têm o mesmo grau em x e y. Para resolver, vamos precisar utilizar a substituição que simplifica a equação, transformando-a em uma equação separável.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer a substituição v = yx, onde v é uma nova variável. Assim, podemos expressar y como y = v x.

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x usando a regra do produto:
dy = v , dx + x , dv

Passo 4

Substituímos y e dy na equação original:
(3x + 5(vx)) dx + (4x + 6(vx))(v dx + x dv) = 0

Passo 5

Simplificamos os termos:
(3x + 5v x) dx + (4x + 6v x)(v dx + x dv) = 0
Fatorando x:
x(3 + 5v) dx + x(4 + 6v)(v dx + x dv) = 0

Passo 6

Dividimos toda a equação por x para simplificar:
(3 + 5v) dx + (4 + 6v)(v dx + x dv) = 0

Passo 7

Expandimos os termos:
(3 + 5v) dx + (4v + 6v^2) dx + (4 + 6v) x dv = 0

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:
[3 + 5v + 4v + 6v^2] dx + (4 + 6v) x dv = 0
Simplificando:
(3 + 9v + 6v^2) dx + (4 + 6v) x dv = 0

Passo 9

Isolamos dvdx:
(4 + 6v) x dvdx = - (3 + 9v + 6v^2)
Dividindo ambos os lados por (4 + 6v)x:
dvdx = - 3 + 9v + 6v^2(4 + 6v) x

Passo 10

Rearranjamos para separar as variáveis v e x:
4 + 6v3 + 9v + 6v^2 dv = -1x dx

Passo 11

Simplificamos a fração do lado esquerdo. Note que o numerador 4 + 6v pode ser fatorado como 2(2 + 3v) e o denominador 3 + 9v + 6v^2 pode ser fatorado como 3(1 + 3v + 2v^2):
2(2 + 3v)3(v^2 + 32v + 1) dv = -1x dx
Simplificando:
2(2 + 3v)3(v + 1)(2v + 1) dv = -1x dx

Passo 12

Integramos ambos os lados:
integral 2(2 + 3v)3(v + 1)(2v + 1) dv = - integral 1x dx
Resolvendo as integrais:
23 ln|v + 1| - 23 ln|2v + 1| = -ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 13

Substituímos v = yx de volta na equação:
23 ln|yx + 1| - 23 ln|2yx + 1| = -ln|x| + C
Podemos simplificar a expressão:
ln|(y + x2y + x)^23| = -ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
ln|(y + x)^2(2y + x)^2| = -3 ln|x| + C
Pode-se reescrever de forma simplificada como:
(y + x)^2 = K cdot x^3 (2y + x)^2
Onde K é uma constante arbitrária.

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