Sabendo que
, então:
Dê uma solução da equação
.
Dê uma solução da equação
Passo 1
Primeiro, o enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Isso é um ODE linear: a gente vai usar fator integrante para achar a solução geral.
Passo 2
Para simplificar, multiplico ambos os lados por
, obtendo a forma padrão
Agora está no formato
Passo 3
A teoria diz que o fator integrante é
$$\mu(x) = e^{\int P(x),dx} = e^{\int -\frac{1}{x},dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}.
$$
Esse serve para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto.
Esse
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
. No lado esquerdo fica
enquanto o lado direito vira
Logo
Passo 5
Agora integramos em relação a
:
$$\int \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),dx = \int 1,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = x + C.
Passo 6
Pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial, com
constante arbitrária.
Resposta
y(x) = x^2 + Cx