Sabendo que d(u v)d x=d ud x v+u cdot d vd x, então:
Dê uma solução da equação 1x d yd x-1x^2 y=1.

Passo 1

Primeiro, o enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
1xdydx-1x^2y = 1
Isso é um ODE linear: a gente vai usar fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Para simplificar, multiplico ambos os lados por x, obtendo a forma padrão
dydx - 1xy = x
Agora está no formato y'+P(x)y = Q(x), com P(x)=-1/x e Q(x)=x.

Passo 3

A teoria diz que o fator integrante é
$$\mu(x) = e^{\int P(x),dx} = e^{\int -\frac{1}{x},dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}.
$$
Esse mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = 1x serve para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por mu(x)=1/x. No lado esquerdo fica
1xdydx - 1x^2y = ddxl(yxr),
enquanto o lado direito vira
xcdot1x = 1
Logo
ddxl(yxr) = 1

Passo 5

Agora integramos em relação a x:
$$\int \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),dx = \int 1,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = x + C.
integral ddxl(yxr),dx = integral 1,dx Longrightarrow yx = x + C y(x) = x^2 + Cx.$$

Passo 6

Pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial, com C constante arbitrária.

Resposta

y(x) = x^2 + Cx

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