A EDO não-linear
(cos y) y^prime+2 t sin y=-2 t
pode ser transformada em uma EDO linear de primeira ordem? Em caso afirmativo, determine uma solução.

Passo 1

A gente tem a EDO não-linear (cos y),y'+2tsin y=-2t. O tema aqui é transformar essa equação numa EDO linear de primeira ordem, usando substituições que aproveitem derivadas conhecidas.

Passo 2

Note que cos y,y'=ddt(sin y). Então podemos definir a nova variável u=sin y e reescrever a equação em termos de u.

Passo 3

Substituindo u=sin y obtemos
u''+2t,u=-2t que é uma EDO linear em u do tipo u''+p(t)u=q(t) com p(t)=2t e q(t)=-2t.

Passo 4

Para resolver, calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral 2t,dt=e^t^2

Passo 5

Multiplicando a EDO por mu(t) temos
$$\frac{d}{dt}\bigl(u,e{t2}\bigr)=-2t,e{t2}.
$$

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
u,e^t^2=-e^t^2+CLongrightarrow u=-1+Ce^-t^2

Passo 7

Voltando à variável original, u=sin y, ficamos com
sin y = C e^-t^2-1

Resposta

Uma solução geral é
y(t)=arcsinl(Ce^-t^2-1r),
com constante arbitrária C.

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