(Teorema do Valor Médio) Verifique se a função f(x)=x^3-3 x+2 satisfaz as condições do TVM no intervalo [-1,2] e encontre o valor c garantido pelo teorema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ atende às condições do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo f(x) = x^3 - 3x + 2 e encontrar o valor $ c $ que o teorema garante. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições do TVM e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições do Teorema do Valor Médio. O TVM diz que se uma função $ f(x) $ é contínua no intervalo fechado f(x) e diferenciável no intervalo aberto [a, b], então existe pelo menos um número $ c $ em (a, b) tal que:
c
Então, nosso primeiro passo é verificar se a função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ é contínua em (a, b) e diferenciável em f'(c) = f(b) - f(a)b - a .

Passo 3

A função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo o conjunto dos números reais. Portanto, a função atende às duas condições do TVM no intervalo f(x) = x^3 - 3x + 2 .

Passo 4

Agora que sabemos que o TVM se aplica, vamos encontrar o valor de $ c $. Primeiro, calculamos a derivada de $ f(x) $:
c

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a média da taxa de variação da função no intervalo [-1, 2]:
f(2) - f(-1)2 - (-1) = f(2) - f(-1)3
Vamos calcular $ f(2) $ e $ f(-1) $:
f(2)
f(-1)
Então:
f(2) = (2)^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4

Passo 6

De acordo com o TVM, existe um $ c $ em c tal que:
(-1, 2)
Então, resolvemos a equação $ f’© = 0 $:
f'(c) = 0

Passo 7

Precisamos verificar quais desses valores de $ c $ estão no intervalo c . O $ c = 1 $ está dentro do intervalo, enquanto $ c = -1 $ está no limite. Como o TVM considera apenas o intervalo aberto (-1, 2), o valor válido é $ c = 1 $.

Resposta

O valor $ c $ garantido pelo Teorema do Valor Médio é $ c = 1 $.

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