(Teorema do Valor Médio) Verifique se a função
satisfaz as condições do TVM no intervalo
e encontre o valor
garantido pelo teorema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ atende às condições do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo
e encontrar o valor $ c $ que o teorema garante. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições do TVM e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições do Teorema do Valor Médio. O TVM diz que se uma função $ f(x) $ é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número $ c $ em
tal que:
Então, nosso primeiro passo é verificar se a função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ é contínua em
e diferenciável em
.
Passo 3
A função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo o conjunto dos números reais. Portanto, a função atende às duas condições do TVM no intervalo
.
Passo 4
Agora que sabemos que o TVM se aplica, vamos encontrar o valor de $ c $. Primeiro, calculamos a derivada de $ f(x) $:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a média da taxa de variação da função no intervalo
:
Vamos calcular $ f(2) $ e $ f(-1) $:
Então:
Passo 6
De acordo com o TVM, existe um $ c $ em
tal que:
Então, resolvemos a equação $ f’© = 0 $:
Passo 7
Precisamos verificar quais desses valores de $ c $ estão no intervalo
. O $ c = 1 $ está dentro do intervalo, enquanto $ c = -1 $ está no limite. Como o TVM considera apenas o intervalo aberto
, o valor válido é $ c = 1 $.
Resposta
O valor $ c $ garantido pelo Teorema do Valor Médio é $ c = 1 $.