(Regra da Cadeia) Derive:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = \ln(\cos(2x)) $. Essa questão envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, identifique as camadas da nossa função. Aqui, temos duas funções dentro uma da outra:
- A função externa é $ \ln(u) $, onde $ u = \cos(2x) $.
- A função interna é $ \cos(2x) $.
Para aplicar a Regra da Cadeia, vamos derivar a função externa em relação à função interna e, depois, multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa $ \ln(u) $ em relação a $ u $. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} $. Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna $ u = \cos(2x) $ em relação a $ x $. A derivada de $ \cos(v) $ em relação a $ v $ é $ -\sin(v) $, e aqui $ v = 2x $. Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Agora, aplique a Regra da Cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 6
Simplificando a expressão, sabemos que $ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tan(2x) $. Então,
Resposta
A derivada de $ y = \ln(\cos(2x)) $ em relação a $ x $ é: