(Regra da Cadeia) Derive:
y=ln (cos (2 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = \ln(\cos(2x)) $. Essa questão envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifique as camadas da nossa função. Aqui, temos duas funções dentro uma da outra:
  1. A função externa é $ \ln(u) $, onde $ u = \cos(2x) $.
  2. A função interna é $ \cos(2x) $.
Para aplicar a Regra da Cadeia, vamos derivar a função externa em relação à função interna e, depois, multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa $ \ln(u) $ em relação a $ u $. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} $. Então,
ln(u)

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna $ u = \cos(2x) $ em relação a $ x $. A derivada de $ \cos(v) $ em relação a $ v $ é $ -\sin(v) $, e aqui $ v = 2x $. Aplicando a regra da cadeia novamente:
u = cos(2x)

Passo 5

Agora, aplique a Regra da Cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
dydx = 1cos(2x) cdot (-2sin(2x)) = -2 cdot sin(2x)cos(2x)

Passo 6

Simplificando a expressão, sabemos que $ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tan(2x) $. Então,
sin(2x)cos(2x) = tan(2x)

Resposta

A derivada de $ y = \ln(\cos(2x)) $ em relação a $ x $ é:
y = ln(cos(2x))

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