Uma EDO de primeira ordem é dita de Ricatti se puder ser escrita na forma y^prime=P(x)+Q(x) y+R(x) y^2
Supondo que y1 seja uma solução da equação, mostre que y=y1+1v também é solução se v^prime=-(Q(x)+2 R(x) y1) v-R(x). Use o fato para resolver a equação y^prime=(y-x)^2+1 com y1=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem, especificamente do tipo Riccati. A tarefa é mostrar que, se já conhecemos uma solução $ y_1 $ da equação, podemos encontrar outra solução na forma $ y = y_1 + \frac{1}{v} $. Depois, vamos usar isso para resolver a equação dada $ y’ = (y - x)^2 + 1 $ sabendo que $ y_1 = x $. Para isso, vamos precisar entender como manipular EDOs de Riccati e aplicar substituições inteligentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma EDO de Riccati:
y' = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2
No nosso caso, a equação dada pode ser reescrita para se encaixar nessa forma. Vamos expandir o lado direito:
(y - x)^2 + 1 = y^2 - 2xy + x^2 + 1
Então, temos:
y' = y^2 - 2xy + (x^2 + 1)
Agora, identificamos $ P(x) = x^2 + 1 $, $ Q(x) = -2x $ e $ R(x) = 1 $.

Passo 3

Sabendo que $ y_1 = x $ é uma solução da equação, vamos substituir $ y = y_1 + \frac{1}{v} $. Ou seja:
y1 = x
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
y = y1 + 1v
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y = x + 1v
Simplificando dentro dos parênteses:
y

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação:
1 - v'v^2 = 1v^2 + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
- v'v^2 = 1v^2
Multiplicando ambos os lados por $ v^2 $:
v^2
Ou seja:
- v' = 1

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial bem mais simples:
v' = -1
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que $ y = y_1 + \frac{1}{v} $ e $ y_1 = x $, substituímos $ v $:
y = y1 + 1v
Simplificando, podemos escrever:
y1 = x
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação $ y’ = (y - x)^2 + 1 $ com $ y_1 = x $ é:
y' = (y - x)^2 + 1
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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