Uma EDO de primeira ordem é dita de Ricatti se puder ser escrita na forma
Supondo que
seja uma solução da equação, mostre que
também é solução se
. Use o fato para resolver a equação
.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem, especificamente do tipo Riccati. A tarefa é mostrar que, se já conhecemos uma solução $ y_1 $ da equação, podemos encontrar outra solução na forma $ y = y_1 + \frac{1}{v} $. Depois, vamos usar isso para resolver a equação dada $ y’ = (y - x)^2 + 1 $ sabendo que $ y_1 = x $. Para isso, vamos precisar entender como manipular EDOs de Riccati e aplicar substituições inteligentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma EDO de Riccati:
No nosso caso, a equação dada pode ser reescrita para se encaixar nessa forma. Vamos expandir o lado direito:
Então, temos:
Agora, identificamos $ P(x) = x^2 + 1 $, $ Q(x) = -2x $ e $ R(x) = 1 $.
Passo 3
Sabendo que $ y_1 = x $ é uma solução da equação, vamos substituir $ y = y_1 + \frac{1}{v} $. Ou seja:
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ v^2 $:
Ou seja:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial bem mais simples:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que $ y = y_1 + \frac{1}{v} $ e $ y_1 = x $, substituímos $ v $:
Simplificando, podemos escrever:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação $ y’ = (y - x)^2 + 1 $ com $ y_1 = x $ é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.