A EDO da questão anterior proporciona um modelo irreal, pois o crescimento não tem limite. Tentado resolver esse problema, em 1840, P. F. Verhulst propôs a Equação Logística
d Pd t=a P-b P^2
Onde a e b são constantes positivas que representam respectivamente taxa média de nascimento (indivíduos saudáveis, casos favoráveis) e taxa média de óbitos (indivíduos contaminados, competidor, inibidor). Sendo assim, suponha em uma epidemia, um estudante infectado com um vírus encontra 100 pessoas isoladas. Suponha que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de pessoas infectadas, mas também à quantidade de pessoas não infectadas. Determine o números de pessoas infectadas após 6 dias, sabendo que 4 dias depois do encontro há 20 pessoas contaminadas.

Passo 1

O enunciado pede para modelar a propagação de um vírus entre 100 pessoas isoladas mais o estudante infectado, usando a equação logística dfracdPdt=aP - bP^2. Sabemos que em t=0 (início do encontro) há P(0)=1 infectado, que em t=4 dias temos P(4)=20, e que a população total que pode ficar infectada é N=1+100=101. Vamos usar isso para achar P(6).

Passo 2

A equação logística pode ser reescrita como dfracdPdt=kP,(N - P), onde N=tfracab é a capacidade de carga e k=b. A solução geral é
P(t)=N1 + C,e^-kNt
Para determinar a constante C, usamos P(0)=1:
1=1011 + CRightarrow C=100

Passo 3

Agora usamos P(4)=20 para achar k:
20=1011 + 100,e^-101kcdot4Rightarrow 1 + 100,e^-404k=10120=5,05
100,e^-404k=4,05Rightarrow e^-404k=0,0405Rightarrow k=-1404ln(0,0405)approx0,00794,(dias^-1)

Passo 4

Finalmente, calculamos P(6):
P(6)=1011 + 100,e^-101cdot0,00794cdot6approx1011 + 100,e^-4,8116approx1011 + 0,8095approx55,8

Resposta

Após 6 dias, haverá aproximadamente 56 pessoas infectadas.

Exercícios relacionados