A EDO da questão anterior proporciona um modelo irreal, pois o crescimento não tem limite. Tentado resolver esse problema, em 1840, P. F. Verhulst propôs a Equação Logística
Onde
e
são constantes positivas que representam respectivamente taxa média de nascimento (indivíduos saudáveis, casos favoráveis) e taxa média de óbitos (indivíduos contaminados, competidor, inibidor). Sendo assim, suponha em uma epidemia, um estudante infectado com um vírus encontra 100 pessoas isoladas. Suponha que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de pessoas infectadas, mas também à quantidade de pessoas não infectadas. Determine o números de pessoas infectadas após 6 dias, sabendo que 4 dias depois do encontro há 20 pessoas contaminadas.
Passo 1
O enunciado pede para modelar a propagação de um vírus entre 100 pessoas isoladas mais o estudante infectado, usando a equação logística
. Sabemos que em
(início do encontro) há
infectado, que em
dias temos
, e que a população total que pode ficar infectada é
. Vamos usar isso para achar
.
Passo 2
A equação logística pode ser reescrita como
, onde
é a capacidade de carga e
. A solução geral é
Para determinar a constante
Passo 3
Agora usamos
para achar
:
Passo 4
Finalmente, calculamos
:
Resposta
Após 6 dias, haverá aproximadamente 56 pessoas infectadas.