Resolva os seguintes limites usando a regra de LHôpital
lim x 0 sen 3 x7 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 sin 3x7x. A matéria aqui é Cálculo, especificamente o cálculo de limites usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender quando usar essa regra e como aplicá-la corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Ela é útil quando o limite resulta em uma indeterminação do tipo 00 ou inftyinfty. Vamos substituir x = 0 na fração:
sin 3(0)7(0) = 00
Como temos a forma 00, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se lim x c f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então:
lim x c f(x)g(x) = lim x c f'(x)g'(x)
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa fração.

Passo 4

Derivando sin 3x em relação a x:
ddx (sin 3x) = 3 cos 3x
Derivando 7x em relação a x:
ddx (7x) = 7

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x 0 sin 3x7x = lim x 0 3 cos 3x7

Passo 6

Agora, substituímos x = 0 na nova expressão:
3 cos 3(0)7 = 3 cos 07 = 3 times 17 = 37

Resposta

O limite é 37.

Exercícios relacionados