Questão:
. Sejam
e
funções reais diferenciáveis. Mostre que a função
satisfaz a equação:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ z = f(x + \varphi(y)) $, onde $ f $ e $ \varphi $ são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que essa função $ z $ satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Lembre-se que $ z = f(u) $ onde $ u = x + \varphi(y) $.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
Como $ u = x + \varphi(y) $, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Sabendo que $ u = x + \varphi(y) $, temos:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ e depois a $ y $:
Primeiro, derivando $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ y $:
Substituindo $ \frac{\partial u}{\partial y} = \varphi’(y) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Derivando $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ x $:
Sabendo que $ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na equação que precisamos provar:
Substituindo os valores:
Perceba que ambos os lados da equação são iguais, então a igualdade é verdadeira.
Resposta
A função $ z = f(x + \varphi(y)) $ satisfaz a equação dada: