2^ a Questão:
(2, 0). Sejam f e varphi funções reais diferenciáveis. Mostre que a função z=f(x+varphi(y)) satisfaz a equação:
partial zpartial x cdot partial^2 zpartial x partial y=partial zpartial y cdot partial^2 zpartial x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ z = f(x + \varphi(y)) $, onde $ f $ e $ \varphi $ são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que essa função $ z $ satisfaz a equação:
z = f(x + varphi(y))
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Lembre-se que $ z = f(u) $ onde $ u = x + \varphi(y) $.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
z
Como $ u = x + \varphi(y) $, temos:
x
Portanto:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
z
Sabendo que $ u = x + \varphi(y) $, temos:
y
Então:
partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ e depois a $ y $:
Primeiro, derivando $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ y $:
z
Substituindo $ \frac{\partial u}{\partial y} = \varphi’(y) $:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Derivando $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ x $:
z
Sabendo que $ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 $:
x

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na equação que precisamos provar:
partial zpartial x cdot partial^2 zpartial x partial y = partial zpartial y cdot partial^2 zpartial x^2
Substituindo os valores:
f'(x + varphi(y)) cdot ( f''(x + varphi(y)) cdot varphi'(y) ) = f'(x + varphi(y)) cdot varphi'(y) cdot f''(x + varphi(y))
Perceba que ambos os lados da equação são iguais, então a igualdade é verdadeira.

Resposta

A função $ z = f(x + \varphi(y)) $ satisfaz a equação dada:
z = f(x + varphi(y))

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