Para a EDO x d y+y d x=x sin (x) d x, mostre que a mesma: é exata

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O objetivo aqui é mostrar que essa equação é exata. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais exatas, onde a gente verifica se existe uma função potencial que relaciona as partes de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação no formato padrão de equações exatas, que é y , dx + x , dy - x sin(x) , dx = 0 . Nossa equação fica assim:
M(x,y) = y - x sin(x)
Ou seja, temos:
N(x,y) = x

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Isso porque, se , então a equação é exata.

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
partial Mpartial y = partialpartial y (y - x sin(x)) = 1
partial Npartial x = partialpartial x (x) = 1
Como e , a condição de exatidão é satisfeita.

Resposta

Portanto, a equação diferencial é exata.

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