Seja
, para
, uma função que descreve o tamanho de uma determinada população (quantidade de elementos). Se a taxa de crescimento desta população é proporcional ao inverso do quadrado da população em cada instante
, apresente a equação que modela o problema.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função
que representa o tamanho de uma população ao longo do tempo
. O enunciado fala que a taxa de crescimento dessa população é proporcional ao inverso do quadrado da população em cada instante. Nosso objetivo aqui é montar a equação que descreve esse comportamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as equações diferenciais que relacionam a taxa de variação de
com
mesma.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “a taxa de crescimento é proporcional ao inverso do quadrado da população”. Isso quer dizer que a derivada de
em relação a
, que representa a taxa de crescimento, é igual a uma constante multiplicada pelo inverso de
ao quadrado. Em fórmulas, isso fica assim:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar ou deixar como parâmetro na equação.
Passo 3
Agora, simplificando a equação, temos:
Essa é a equação diferencial que modela o problema. Ela relaciona a taxa de crescimento da população
com o tamanho da população
de forma inversamente proporcional ao quadrado de
.
Resposta
A equação que modela o problema é: