Seja P=P(t), para t >= 0, uma função que descreve o tamanho de uma determinada população (quantidade de elementos). Se a taxa de crescimento desta população é proporcional ao inverso do quadrado da população em cada instante t, apresente a equação que modela o problema.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função que representa o tamanho de uma população ao longo do tempo . O enunciado fala que a taxa de crescimento dessa população é proporcional ao inverso do quadrado da população em cada instante. Nosso objetivo aqui é montar a equação que descreve esse comportamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as equações diferenciais que relacionam a taxa de variação de com mesma.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “a taxa de crescimento é proporcional ao inverso do quadrado da população”. Isso quer dizer que a derivada de dPdt = k cdot 1P^2 em relação a , que representa a taxa de crescimento, é igual a uma constante multiplicada pelo inverso de ao quadrado. Em fórmulas, isso fica assim:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar ou deixar como parâmetro na equação.

Passo 3

Agora, simplificando a equação, temos:
dPdt = kP^2
Essa é a equação diferencial que modela o problema. Ela relaciona a taxa de crescimento da população com o tamanho da população de forma inversamente proporcional ao quadrado de .

Resposta

A equação que modela o problema é:
dPdt = kP^2

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