Obtenha a solução para a edo separável
y^prime=(2 y+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) separável que nos foi dada:
y^prime = (2 y + 1)^2
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com EDOs separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar dy(2 y + 1)^2 = dx dos termos de . Isso significa colocar todos os de um lado e os do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a integral dy(2 y + 1)^2 = integral dx e o lado direito em relação a :
Para integrar o lado esquerdo, podemos usar uma substituição simples.

Passo 4

Definimos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = 2y + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a du/dy = 2 implies dy = du2 :
integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 du
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos:
12 cdot ( -u^-1 ) + C = -12u + C
Substituindo -12(2y + 1) + C = x + D de volta:
Onde e são constantes de integração, que podemos combinar em uma só constante.

Passo 6

Resolvendo para -12(2y + 1) = x + K , primeiro isolamos:
12y + 1 = -2x + C
Multiplicando ambos os lados por -2:
2y + 1 = 1-2x + C
Agora, invertendo ambos os lados:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para 2y = 1-2x + C - 1 :
y = 12(-2x + C) - 12
Podemos simplificar a constante para outra letra ou valor, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = 12(-2x + C) - 12
onde é a constante de integração.

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