l 3 y^prime-5 y=0 y(0)=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial. Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a função que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a identificação dos termos. A equação dada é:
3 y^prime - 5 y = 0
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
y^prime - 53 y = 0

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear da forma mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -53 dt = e^-53 t , onde e . Para resolver, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-53 t y^prime - 53 e^-53 t y = 0
Isso simplifica para a derivada do produto:
ddt ( e^-53 t y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a e^-53 t y = C :
y(t) = C e^53 t
Onde é a constante de integração. Para encontrar , isolamos:

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(0) = C e^53 cdot 0 = C = pi para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = pi e^53 t

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