Para a EDO
, encontre a solução não trivial com
Passo 1
Temos a EDO linear homogênea de segunda ordem de coeficientes constantes
e queremos uma solução não trivial que satisfaça
O conteúdo aqui é a resolução de EDOs com equação característica e, em seguida, imposição de condição para determinar constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
Calculamos o discriminante:
logo há raiz dupla.
Passo 3
Como a raiz é
com multiplicidade 2, a forma geral da solução é
Passo 4
Impondo a condição
obtemos
Assim
.
Passo 5
Substituindo
em
resulta na família de soluções não triviais que satisfaz
:
onde
é um parâmetro livre.
Resposta
A solução geral não trivial que satisfaz
é
Em particular, tomando
obtemos a solução mais simples
que também é não trivial e satisfaz
.