Para a EDO 9 y^prime prime+6 y^prime+y=0, encontre a solução não trivial com y(1)=e^-1 / 3

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de segunda ordem de coeficientes constantes
9,y'' + 6,y' + y = 0
e queremos uma solução não trivial que satisfaça
y(1)=e^-1/3
O conteúdo aqui é a resolução de EDOs com equação característica e, em seguida, imposição de condição para determinar constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
9,r^2 + 6,r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 6^2 - 4cdot9cdot1 =36 -36 = 0,
logo há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é
r = -62cdot9 = -tfrac13
com multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x/3

Passo 4

Impondo a condição y(1)=e^-1/3 obtemos
y(1) = l(C1 + C2cdot1r)e^-1/3 = e^-1/3 Longrightarrow C1 + C2 = 1
Assim C1=1-C2.

Passo 5

Substituindo C1=1-C2 em y(x) resulta na família de soluções não triviais que satisfaz y(1)=e^-1/3:
y(x) = l[(1 - C2) + C2,xr]e^-x/3 = l[1 + C2(x-1)r],e^-x/3,
onde C2 é um parâmetro livre.

Resposta

A solução geral não trivial que satisfaz y(1)=e^-1/3 é
boxedy(x)=l[1 + C,(x-1)r],e^-x/3, CinR
Em particular, tomando C=0 obtemos a solução mais simples
y(x)=e^-x/3,
que também é não trivial e satisfaz y(1)=e^-1/3.

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