Calcule d y / d x, se y=f(x) é definida implicitamente pela equação
3 y-x^2+ln (x y)=2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
3y - x^2 + ln(xy) = 2
e pede dydx. Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto na parte de ln(xy).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • A derivada de 3y é 3,y'.
  • A derivada de -x^2 é -2x.
  • Para ln(xy) usamos ddxln(u)=u'u com u=xy. Como u'=y + x,y' (regra do produto),
ddxln(xy) = y + x,y'x y
Como o lado direito é constante, sua derivada é zero. Logo a equação diferenciada fica
3,y' - 2x + y + x,y'x y = 0

Passo 3

Para eliminar o denominador, multiplico toda a equação por x y:
3,y',(x y) ;-;2x,(x y);+;(y + x,y')=0 Longrightarrow 3x y,y' -2x^2y + y + x,y' = 0

Passo 4

Agrupo os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
y',(3x y + x) = 2x^2y - y

Passo 5

Isolando y':
y' = 2x^2y - yx(3y+1) = y,(2x^2 - 1)x,(3y+1)

Resposta

dydx = y,(2x^2 - 1)x,(3y+1)

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