Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções e formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral. .
Passo 1
O enunciado trata da EDO não-homogênea
cuja equação homogênea associada é
Diz-se que
são duas soluções dessa homogênea. Vamos primeiro verificar que elas são linearmente independentes (logo formam um conjunto fundamental) e depois usar o método de variação de constantes para obter a solução geral da não-homogênea.
Passo 2
Calculamos o Wronskiano de e :
Temos
y1' = -tfrac12 x^-3/2 sin x + x^-1/2 cos x, y2' = -tfrac12 x^-3/2 cos x - x^-1/2 sin x
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W(x) = x^-1/2 sin x l(-tfrac12 x^-3/2 cos x - x^-1/2 sin xr) - x^-1/2 cos x l(-tfrac12 x^-3/2 sin x + x^-1/2 cos xr)
Fazendo as contas chega-se a
W(x)=x^-1(cos^2 x - sin^2 x) =cos(2x)x
Como W(x) não é identicamente zero em (0,infty), concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da homogênea.]
Passo 3
Pelo método de variação de parâmetros, buscamos
yp(x)=u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x),
com as condições auxiliares
u1'(x) y1(x) + u2'(x) y2(x) = 0, [4pt] u1'(x) y1'(x) + u2'(x) y2'(x) = 3 x^1/2 sin x
A solução desse sistema dá
u1'(x) = -3 x^1/2 sin x ; y2(x)W(x), u2'(x) = 3 x^1/2 sin x ; y1(x)W(x) ]