Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções y1=y1(t) e y2=y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral.
y^prime prime+1x y^prime+x^2-0,25x^2 y=3 x^1 / 2 sen(x), x>0 ; y1=x^-1 / 2 sen(x) y2=x^-1 / 2 cos (x).

Passo 1

O enunciado trata da EDO não-homogênea
y''+1xy'+x^2-0,25x^2,y=3x^1/2sin x, x>0,
cuja equação homogênea associada é
y''+1xy'+x^2-0,25x^2,y=0
Diz-se que
y1(x)=x^-1/2sin x, y2(x)=x^-1/2cos x
são duas soluções dessa homogênea. Vamos primeiro verificar que elas são linearmente independentes (logo formam um conjunto fundamental) e depois usar o método de variação de constantes para obter a solução geral da não-homogênea.

Passo 2

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(x)= y1 & y2 [6pt] y1' & y2'
Temos
y1' = -tfrac12 x^-3/2 sin x + x^-1/2 cos x, y2' = -tfrac12 x^-3/2 cos x - x^-1/2 sin x
Logo
W(x) = x^-1/2 sin x l(-tfrac12 x^-3/2 cos x - x^-1/2 sin xr) - x^-1/2 cos x l(-tfrac12 x^-3/2 sin x + x^-1/2 cos xr)
Fazendo as contas chega-se a
W(x)=x^-1(cos^2 x - sin^2 x) =cos(2x)x
Como W(x) não é identicamente zero em (0,infty), concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da homogênea.]

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, buscamos
yp(x)=u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x),
com as condições auxiliares
u1'(x) y1(x) + u2'(x) y2(x) = 0, [4pt] u1'(x) y1'(x) + u2'(x) y2'(x) = 3 x^1/2 sin x
A solução desse sistema dá
u1'(x) = -3 x^1/2 sin x ; y2(x)W(x), u2'(x) = 3 x^1/2 sin x ; y1(x)W(x) ]

Passo 4

Substituindo y1, y2 e W:
u1'(x) =-3x^1/2sin x,(x^-1/2cos x)cos(2x)/x =-3sin xcos xcos(2x),x =-32,xtan(2x),
u2'(x) =3x^1/2sin x,(x^-1/2sin x)cos(2x)/x =3sin^2xcos(2x),x =32,xl(sec(2x)-1r)
Integrando, obtemos
u1(x)=-32integral xtan(2x),dx, u2(x)=32integral xl(sec(2x)-1r),dx
Essas integrais não têm forma elementar simples, mas podem ser deixadas em forma de primitiva.

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea fica
y(x)=c1,x^-1/2sin x + c2,x^-1/2cos x +underbracex^-1/2sin x;l(-tfrac32integral xtan(2x),dxr) + x^-1/2cos x;l(tfrac32integral x(sec(2x)-1),dxr)yp(x)

Resposta

A família
y(x) =c1,x^-1/2sin x + c2,x^-1/2cos x + x^-1/2sin xl(-tfrac32!integral xtan2x,dxr) + x^-1/2cos xl(tfrac32!integral x(sec2x-1),dxr)
é a solução geral da equação dada, onde c1,c2 são constantes arbitrárias.

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