Use a série de Maclaurin de ln (1+x) para encontrar a série de Taylor para ln x em 2 .

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de ln x centrada em x=2. Para isso vamos usar a série de Maclaurin de ln(1+u), que é válida para lvert urvert<1. A ideia é reescrever ln x de modo a obter um logaritmo do tipo ln(1+u) e depois substituir a expansão conhecida.

Passo 2

Escrevemos
x = 2 + (x-2)
e, portanto,
ln x = lnl(2 + (x-2)r) = ln 2 + ln!l(1 + x-22r)

Passo 3

A série de Maclaurin de ln(1+u) é
ln(1+u) = sumn=1^infty(-1)^n+1,u^nn,
válida para lvert urvert<1.

Passo 4

No nosso caso tomamos
u = x-22,
que satisfaz lvert urvert<1 sempre que lvert x-2rvert<2. Substituindo na série de Maclaurin, obtemos
ln!l(1 + x-22r) = sumn=1^infty(-1)^n+1,1nl(x-22r)^n = sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-2)^nn,2^n
Somando o termo ln 2, a série de Taylor de ln x em x=2 é
ln x = ln 2 + sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-2)^nn,2^n,
com raio de convergência 2.

Resposta

boxed ln x = ln 2 + sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-2)^nn,2^n, lvert x-2rvert<2

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