EDOs de Bernoulli
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes que tiramos do enunciado:
- A incógnita é
função de . - A equação envolve
, termos lineares em e um termo . - Devemos encontrar a solução geral (família de soluções com constante arbitrária) — e lembrar de checar soluções que possam ficar fora de transformações (por exemplo
). - Observação importante: a equação está definida para
(pois aparece ).
Passo 2
Entendimento do tipo de equação e ideia do método (explicação didática):
- Vamos transformar essa equação para uma que saibamos resolver.
- Uma classe útil é a equação de Bernoulli, que tem a forma
onde
,
são funções de
e
é um número real. A técnica padrão é usar a substituição
que transforma a equação em uma equação linear em
.
- No nosso caso, comparando com a forma acima temos
, e . Portanto a substituição será
Explico: a escolha
é porque isso elimina o termo
quando reescrevemos a derivada, produzindo uma equação linear para
.
Passo 3
Calcular a derivada de
em função de
e
(passo técnico):
- Definimos
. Diferenciando em relação a ,
- Dessa relação podemos isolar
:
Esse é o que usaremos para substituir na equação original.
Passo 4
Substituir na equação original e obter a equação linear para
:
- Substituindo
em
obtemos
- Agora dividimos a equação inteira por
(válido enquanto ; o caso será tratado à parte):
- Lembrando que
, isto fica
- Multiplicando por
para colocar na forma padrão , obtemos
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear usando fator integrante (explicando o método):
- Uma equação linear de primeira ordem tem forma
Aqui
e
.
- O fator integrante
é . - Calculamos
Para manipulação algébrica podemos tomar
(assumindo
; o valor absoluto só afeta o sinal da constante integrada que virá depois).
- Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em derivada de um produto:
O lado esquerdo é
. Explico:
.
- Então temos
Passo 6
Integrar e encontrar
:
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração (real).
- Multiplicando por
,
Lembre que
, então já temos uma expressão para
.
Passo 7
Voltar para
e explicar domínio e solução trivial:
- Substituindo
obtemos
- Isolando
,
- Além desta família de soluções obtida com a transformação (que exige
), existe a solução constante . Verifique: se então e a equação original vira , que é verdadeira. A substituição não captura , por isso precisamos lembrar dela separadamente. - Observações sobre domínio: a solução geral não é definida em
(o enunciado já indicava isso) e também precisa que se quisermos evitar singularidade em . Em resumo, as soluções separam-se em intervalos onde e onde o denominador não zera.
Passo 8
Recapitulação prática (como fazer na prova, passo a passo resumido):
- Identifique
, e . - Use
. Calcule e substitua. - Obtenha equação linear para
: coloque na forma . - Ache o fator integrante
, multiplique para obter . - Integre, resolva para
, volte para . - Não esqueça de checar soluções que a substituição exclui (ex.:
) e os pontos onde a equação não é definida (ex.: ).