EDOs de Bernoulli
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^{2}.
Informações relevantes que tiramos do enunciado:
  • A incógnita é y função de x.
  • A equação envolve dy/dx, termos lineares em y e um termo y^{2}.
  • Devemos encontrar a solução geral (família de soluções com constante arbitrária) — e lembrar de checar soluções que possam ficar fora de transformações (por exemplo y\equiv0).
  • Observação importante: a equação está definida para x\neq0 (pois aparece \frac{y}{x}).

Passo 2

Entendimento do tipo de equação e ideia do método (explicação didática):
  • Vamos transformar essa equação para uma que saibamos resolver.
  • Uma classe útil é a equação de Bernoulli, que tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde P, Q são funções de x e n é um número real. A técnica padrão é usar a substituição
u=y^{1-n},
que transforma a equação em uma equação linear em u.
  • No nosso caso, comparando com a forma acima temos P(x)=\frac{1}{x}, Q(x)=1 e n=2. Portanto a substituição será
u=y^{1-2}=y^{-1}.
Explico: a escolha u=y^{-1} é porque isso elimina o termo y^{2} quando reescrevemos a derivada, produzindo uma equação linear para u.

Passo 3

Calcular a derivada de u em função de y e dy/dx (passo técnico):
  • Definimos u=y^{-1}. Diferenciando em relação a x,
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(y^{-1})=-1\cdot y^{-2}\cdot\frac{dy}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}.
  • Dessa relação podemos isolar \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=-y^{2}\frac{du}{dx}.
Esse é o que usaremos para substituir na equação original.

Passo 4

Substituir na equação original e obter a equação linear para u:
  • Substituindo \frac{dy}{dx}=-y^{2}\frac{du}{dx} em
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^{2},
obtemos
-\,y^{2}\frac{du}{dx}+\frac{y}{x}=y^{2}.
  • Agora dividimos a equação inteira por y^{2} (válido enquanto y\neq0; o caso y\equiv0 será tratado à parte):
-\,\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}y^{-1}=1.
  • Lembrando que y^{-1}=u, isto fica
-\,\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}u=1.
  • Multiplicando por -1 para colocar na forma padrão du/dx + p(x)u = r(x), obtemos
\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-1.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x).

Passo 5

Resolver a equação linear usando fator integrante (explicando o método):
  • Uma equação linear de primeira ordem tem forma
\frac{du}{dx}+p(x)\,u=r(x).
Aqui p(x)=-\frac{1}{x} e r(x)=-1.
  • O fator integrante \mu(x) é \displaystyle \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Calculamos
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=|x|^{-1}.
Para manipulação algébrica podemos tomar \mu(x)=\dfrac{1}{x} (assumindo x\neq0; o valor absoluto só afeta o sinal da constante integrada que virá depois).
  • Multiplicando a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x} transformamos o lado esquerdo em derivada de um produto:
\frac{1}{x}\frac{du}{dx}-\frac{1}{x^{2}}u=-\frac{1}{x}.
O lado esquerdo é \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right). Explico: \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right)=\frac{1}{x}\frac{du}{dx}-\frac{u}{x^{2}}.
  • Então temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right)=-\frac{1}{x}.

Passo 6

Integrar e encontrar u(x):
  • Integramos ambos os lados em x:
\frac{u}{x}=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (real).
  • Multiplicando por x,
u=x\bigl(C-\ln|x|\bigr).
Lembre que u=y^{-1}, então já temos uma expressão para y^{-1}.

Passo 7

Voltar para y e explicar domínio e solução trivial:
  • Substituindo u=y^{-1} obtemos
\frac{1}{y}=x\bigl(C-\ln|x|\bigr).
  • Isolando y,
y=\frac{1}{x\bigl(C-\ln|x|\bigr)}.
  • Além desta família de soluções obtida com a transformação (que exige y\neq0), existe a solução constante y\equiv0. Verifique: se y\equiv0 então \frac{dy}{dx}=0 e a equação original vira 0+\frac{0}{x}=0, que é verdadeira. A substituição u=y^{-1} não captura y=0, por isso precisamos lembrar dela separadamente.
  • Observações sobre domínio: a solução geral não é definida em x=0 (o enunciado já indicava isso) e também precisa que C-\ln|x|\neq0 se quisermos evitar singularidade em y. Em resumo, as soluções separam-se em intervalos onde x\neq0 e onde o denominador não zera.

Passo 8

Recapitulação prática (como fazer na prova, passo a passo resumido):
  • Identifique P(x), Q(x) e n.
  • Use u=y^{1-n}. Calcule du/dx e substitua.
  • Obtenha equação linear para u: coloque na forma du/dx+p(x)u=r(x).
  • Ache o fator integrante \mu=\exp(\int p\,dx), multiplique para obter (\mu u)'=\mu r.
  • Integre, resolva para u, volte para y.
  • Não esqueça de checar soluções que a substituição exclui (ex.: y\equiv0) e os pontos onde a equação não é definida (ex.: x=0).

Resposta

y=\dfrac{1}{x\bigl(C-\ln|x|\bigr)} (constante C\in\mathbb{R}, válido para x\neq0 e C-\ln|x|\neq0)
y\equiv 0

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