EDOs Lineares
\frac{d y}{d x}-3 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-3 y=e^{2 x}
e pede a solução y(x) (a solução geral). Informações dadas importantes:
  • Temos uma equação diferencial de primeira ordem (aparece apenas \frac{d y}{d x} e y).
  • É linear e não homogênea (há um termo à direita, e^{2x}).
  • Coeficientes são constantes (o termo multiplicando y é -3).
    Nada mais foi pedido explicitamente, então vamos encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Escolha do método: há dois caminhos simples aqui — o fator integrante (método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem) ou o método dos coeficientes a determinar (tentando uma solução da forma A e^{2x} para a parte particular). Vou usar o fator integrante porque é um método sistemático que funciona para qualquer equação linear de primeira ordem; depois mostro rapidamente a ideia dos coeficientes a determinar como verificação.
Agora explico o método do fator integrante de forma didática: escrita padrão da equação linear de 1ª ordem é
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o lado direito. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
A razão de usar \mu é a seguinte identidade útil:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu'(x)y(x)=\mu(x)\Big(\frac{d y}{d x}+P(x)y\Big).
Ou seja, multiplicando a equação original por \mu transformamos o lado esquerdo numa derivada total \frac{d}{dx}(\mu y), o que facilita integrar ambos os lados.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão \frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x). A equação dada é
\frac{d y}{d x}-3y=e^{2x},
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P(x)=-3,\qquad Q(x)=e^{2x}.
Note que P é constante: P(x)=-3.

Passo 4

Calculo o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -3\,dx}=e^{-3x}.
Expliquei antes por que isso ajuda: multiplicando pela \mu vamos obter uma derivada total à esquerda.

Passo 5

Multiplico toda a equação por \mu(x)=e^{-3x}. Isso dá
e^{-3x}\frac{d y}{d x}-3e^{-3x}y=e^{-3x}e^{2x}.
Pelo motivo do passo 2, o lado esquerdo é a derivada de e^{-3x}y, então
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)=e^{-x},
pois e^{-3x}e^{2x}=e^{-x}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)\,dx=\int e^{-x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{-3x}y. A integral do lado direito é -e^{-x}+C, onde C é a constante de integração. Portanto
e^{-3x}y=-e^{-x}+C.
Agora isolo y multiplicando por e^{3x}:
y=-e^{-x}e^{3x}+C e^{3x}=-e^{2x}+C e^{3x}.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito antes da prova): calculo \frac{d y}{d x} para checar se a solução satisfaz a equação original. Para
y=-e^{2x}+C e^{3x}
temos
\frac{d y}{d x}=-2e^{2x}+3C e^{3x}.
Então
\frac{d y}{d x}-3y=(-2e^{2x}+3C e^{3x})-3(-e^{2x}+C e^{3x})=(-2e^{2x}+3C e^{3x})+(3e^{2x}-3C e^{3x})=e^{2x},
o que confirma que a solução está correta. (Se preferir, também poderíamos ter usado coeficientes a determinar: tentar y_p=A e^{2x} A=-1, e o homogêneo \,y_h=C e^{3x}, chegando à mesma solução.)

Resposta

y(x)=C e^{3x}-e^{2x}

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