EDOs Lineares
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução
(a solução geral). Informações dadas importantes:
- Temos uma equação diferencial de primeira ordem (aparece apenas
e ). - É linear e não homogênea (há um termo à direita,
). - Coeficientes são constantes (o termo multiplicando
é ).
Nada mais foi pedido explicitamente, então vamos encontrar a solução geral.
Passo 2
Escolha do método: há dois caminhos simples aqui — o fator integrante (método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem) ou o método dos coeficientes a determinar (tentando uma solução da forma
para a parte particular). Vou usar o fator integrante porque é um método sistemático que funciona para qualquer equação linear de primeira ordem; depois mostro rapidamente a ideia dos coeficientes a determinar como verificação.
Agora explico o método do fator integrante de forma didática: escrita padrão da equação linear de 1ª ordem é
Agora explico o método do fator integrante de forma didática: escrita padrão da equação linear de 1ª ordem é
Aqui
é a função que multiplica
e
é o lado direito. O fator integrante
é definido por
A razão de usar
é a seguinte identidade útil:
Ou seja, multiplicando a equação original por
transformamos o lado esquerdo numa derivada total
, o que facilita integrar ambos os lados.
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão
. A equação dada é
logo
Note que
é constante:
.
Passo 4
Calculo o fator integrante
:
Expliquei antes por que isso ajuda: multiplicando pela
vamos obter uma derivada total à esquerda.
Passo 5
Multiplico toda a equação por
. Isso dá
Pelo motivo do passo 2, o lado esquerdo é a derivada de
, então
pois
.
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Portanto
Agora isolo
multiplicando por
:
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito antes da prova): calculo
para checar se a solução satisfaz a equação original. Para
temos
Então
o que confirma que a solução está correta. (Se preferir, também poderíamos ter usado coeficientes a determinar: tentar
dá
, e o homogêneo
, chegando à mesma solução.)