EDOs de Bernoulli
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^{2}y^{3}
e pede a solução geral y(x). Informações importantes fornecidas:
\text{(i)}\; \text{o termo } \frac{y}{x} \text{ exige } x\neq 0 \text{ (domínio típico)}.íí
\text{(ii)}\; \text{a equação envolve }y\text{ e }y^{3}\text{ — portanto a solução pode incluir a solução trivial }y\equiv 0.çãçãçã
Não fazemos mais nada neste passo; só organizamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Vamos transformar a equação em uma equação linear usando uma substituição que elimine o termo não linear em y^{3}. A técnica que vamos usar é: definir uma nova função u(x) como potência de y de modo que a derivada du/dx apareça linearmente. Vou mostrar a substituição precisamente no passo seguinte e explicar por que ela funciona, com calma passo a passo.

Passo 3

Escolha da substituição e derivação da relação entre u e y:
Tomamos a substituição
u = y^{1-n},
onde n é o expoente do termo não linear y^{n}. Aqui n=3, então escolhemos
u = y^{1-3} = y^{-2}.
Agora derivamos u em relação a x. Usando regra da cadeia,
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\big(y^{-2}\big) = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Isto nos dá uma expressão que relaciona \frac{dy}{dx} com \frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}y^{3}\frac{du}{dx}.
Vou substituir essa expressão na equação original para eliminar \frac{dy}{dx} e reduzir a equação.

Passo 4

Substituição na equação original e obtenção da equação linear para u:
A equação original é
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^{2}y^{3}.
Substituindo \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}y^{3}\frac{du}{dx} nessa equação, obtemos
-\frac{1}{2}y^{3}\frac{du}{dx}-\frac{y}{x}=x^{2}y^{3}.
Agora dividimos ambos os lados por y^{3} (isto é válido para soluções com y\neq 0; trataremos y\equiv 0 em separado):
-\frac{1}{2}\frac{du}{dx}-\frac{y^{-2}}{x}=x^{2}.
Lembre que y^{-2}=u, então substituímos:
-\frac{1}{2}\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=x^{2}.
Multiplicando por -2 para simplificar:
\frac{du}{dx}+\frac{2}{x}u=-2x^{2}.
Pronto — conseguimos uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x):
\frac{du}{dx}+\frac{2}{x}u=-2x^{2}.

Passo 5

Resolver a equação linear por fator integrante (aula rápida):
Uma equação linear no formato
\frac{du}{dx}+p(x)u=q(x)
é resolvida usando o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Aqui p(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(2\ln|x|\big)=x^{2},
onde usamos x\neq 0. Multiplicamos a equação por \mu(x):
x^{2}\frac{du}{dx}+2x u = -2x^{4}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}u\big), logo
\frac{d}{dx}\big(x^{2}u\big) = -2x^{4}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^{2}u = \int -2x^{4}\,dx = -2\cdot\frac{x^{5}}{5} + C = -\frac{2}{5}x^{5} + C,
onde C é constante de integração. Então
u = -\frac{2}{5}x^{3} + Cx^{-2}.

Passo 6

Voltar para y (substituição inversa) e simplificar a expressão:
Lembramos que u=y^{-2}. Portanto
y^{-2} = -\frac{2}{5}x^{3} + Cx^{-2}.
Para organizar, coloque em uma única fração (opcional):
y^{-2} = \frac{-\tfrac{2}{5}x^{5} + C}{x^{2}} = \frac{C-\tfrac{2}{5}x^{5}}{x^{2}}.
Invertendo ambos os lados para obter y^{2}:
y^{2} = \frac{x^{2}}{C-\tfrac{2}{5}x^{5}}.
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal) damos a solução geral para y\neq 0:
y = \pm\frac{x}{\sqrt{C-\tfrac{2}{5}x^{5}}}.
Observações importantes sobre domínio e soluções singulares:
\text{(i) }x\neq 0 \text{ (apareceu em várias etapas).}á
\text{(ii) A expressão dentro da raiz }C-\tfrac{2}{5}x^{5}\text{ deve ser positiva para solução real (caso queira real).}ãçã
\text{(iii) A solução }y\equiv 0 \text{ também satisfaz a equação original (é a solução trivial).}çãéçãéçã

Resposta

y=\pm\frac{x}{\sqrt{C-\tfrac{2}{5}x^{5}}}
y\equiv 0

Exercícios relacionados