EDOs de Bernoulli
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações importantes fornecidas:
Não fazemos mais nada neste passo; só organizamos o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Vamos transformar a equação em uma equação linear usando uma substituição que elimine o termo não linear em . A técnica que vamos usar é: definir uma nova função
como potência de
de modo que a derivada
apareça linearmente. Vou mostrar a substituição precisamente no passo seguinte e explicar por que ela funciona, com calma passo a passo.
Vamos transformar a equação em uma equação linear usando uma substituição que elimine o termo não linear em
Passo 3
Escolha da substituição e derivação da relação entre
e
:
Tomamos a substituição
Tomamos a substituição
onde
é o expoente do termo não linear
. Aqui
, então escolhemos
Agora derivamos
em relação a
. Usando regra da cadeia,
Isto nos dá uma expressão que relaciona
com
:
Vou substituir essa expressão na equação original para eliminar
e reduzir a equação.
Passo 4
Substituição na equação original e obtenção da equação linear para
:
A equação original é
A equação original é
Substituindo
nessa equação, obtemos
Agora dividimos ambos os lados por
(isto é válido para soluções com
; trataremos
em separado):
Lembre que
, então substituímos:
Multiplicando por
para simplificar:
Pronto — conseguimos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Resolver a equação linear por fator integrante (aula rápida):
Uma equação linear no formato
Uma equação linear no formato
é resolvida usando o fator integrante
. Aqui
, então
onde usamos
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Então
Passo 6
Voltar para
(substituição inversa) e simplificar a expressão:
Lembramos que . Portanto
Lembramos que
Para organizar, coloque em uma única fração (opcional):
Invertendo ambos os lados para obter
:
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal) damos a solução geral para
:
Observações importantes sobre domínio e soluções singulares: