Fator Integrante
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
O que nos pedem (implícito no título “Fator Integrante”) é achar um fator integrante que torne a equação exata e, em seguida, resolver a equação (ou seja, encontrar a solução implícita geral).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
onde a equação está na forma
.\n
Perguntas implícitas:
Perguntas implícitas:
- Existe um fator integrante dependendo só de
ou só de ? - Qual é esse fator integrante?
- Qual é a solução geral (implícita) após aplicar o fator integrante?
Passo 2
Entendimento do critério de exatidão e como obter um fator integrante dependendo só de
ou só de
.
Uma forma diferencial
é exata se existe uma função
tal que
A condição equivalente (testada com derivadas parciais) é
Se essa igualdade não vale, podemos tentar um fator integrante
que dependa apenas de
ou apenas de
. As fórmulas que usamos (derivadas diretamente da condição de exatidão para
e
) são:
- Se
então
desde que o lado direito dependa apenas de
.
- Se
então
desde que o lado direito dependa apenas de
.
Vou testar as duas possibilidades para decidir qual fator integrar usar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias.
Temos
e
. Então
Passo 4
Testar
: calcular
Esse resultado depende de
além de
, logo não é função apenas de
. Portanto não serve para
.
Passo 5
Testar
: calcular
Agora simplificamos: o numerador é
, então
Esse quociente depende apenas de
. Ótimo — isso indica que existe um fator integrante que depende só de
.
Passo 6
Encontrar
resolvendo a equação
Integrando ambos os lados em
:
Assim
Podemos escolher a constante multiplicativa
(fatores escalares não importam para tornar exata), então tomamos
Passo 7
Multiplicar a equação original por
e simplificar.
Multiplicando:
Verificação de exatidão:
Como as derivadas parciais coincidem, a forma é agora exata.
Passo 8
Encontrar a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 9
Determinar
usando
.
Calcule a derivada de
em relação a
:
Isso deve ser igual a
. Assim
Portanto
é constante; absorvemos essa constante em
na solução implícita final.
Passo 10
Escrever a solução implícita geral.
Da expressão de
temos a constante de integração:
Podemos reescrever multiplicando por
se quisermos:
com
. Ambas formas são equivalentes.