Fator Integrante
\left(y+x y^{2}\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
\left(y + x y^{2}\right)\,dx - x\,dy = 0.
O que nos pedem (implícito no título “Fator Integrante”) é achar um fator integrante que torne a equação exata e, em seguida, resolver a equação (ou seja, encontrar a solução implícita geral).\n
Informações dadas:
M(x,y)=y+x y^{2}\quad\text{e}\quad N(x,y)=-x,
onde a equação está na forma \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.\n
Perguntas implícitas:
  • Existe um fator integrante dependendo só de x ou só de y?
  • Qual é esse fator integrante?
  • Qual é a solução geral (implícita) após aplicar o fator integrante?

Passo 2

Entendimento do critério de exatidão e como obter um fator integrante dependendo só de x ou só de y.
Uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
A condição equivalente (testada com derivadas parciais) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade não vale, podemos tentar um fator integrante \mu que dependa apenas de x ou apenas de y. As fórmulas que usamos (derivadas diretamente da condição de exatidão para \mu M e \mu N) são:
  • Se \mu=\mu(x) então
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N},
desde que o lado direito dependa apenas de x.
  • Se \mu=\mu(y) então
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M},
desde que o lado direito dependa apenas de y.
Vou testar as duas possibilidades para decidir qual fator integrar usar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias.
Temos M(x,y)=y+x y^{2} e N(x,y)=-x. Então
\frac{\partial M}{\partial y}=1+2xy,
\frac{\partial N}{\partial x}=-1.

Passo 4

Testar \mu=\mu(x): calcular
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(1+2xy)-(-1)}{-x} = \frac{2+2xy}{-x} = -2\Bigl(\frac{1}{x}+y\Bigr).
Esse resultado depende de y além de x, logo não é função apenas de x. Portanto não serve para \mu(x).

Passo 5

Testar \mu=\mu(y): calcular
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{(-1)-(1+2xy)}{y+xy^{2}} = \frac{-2-2xy}{y(1+xy)}.
Agora simplificamos: o numerador é -2(1+xy), então
\frac{-2(1+xy)}{y(1+xy)}=-\frac{2}{y}.
Esse quociente depende apenas de y. Ótimo — isso indica que existe um fator integrante que depende só de y.

Passo 6

Encontrar \mu(y) resolvendo a equação
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-\frac{2}{y}.
Integrando ambos os lados em y:
\ln |\mu(y)|=\int -\frac{2}{y}\,dy=-2\ln|y|+C.
Assim
\mu(y)=C\,y^{-2}.
Podemos escolher a constante multiplicativa C=1 (fatores escalares não importam para tornar exata), então tomamos
\mu(y)=y^{-2}.

Passo 7

Multiplicar a equação original por \mu(y)=y^{-2} e simplificar.
Multiplicando:
\tilde M(x,y)=\mu M = y^{-2}(y+xy^{2})=y^{-1}+x,
\tilde N(x,y)=\mu N = y^{-2}(-x)=-x y^{-2}.
Verificação de exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}+x\bigr)=-y^{-2},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{d}{dx}\bigl(-x y^{-2}\bigr)=-y^{-2}.
Como as derivadas parciais coincidem, a forma é agora exata.

Passo 8

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M=x+y^{-1}.
Integramos \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (x+y^{-1})\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x y^{-1}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 9

Determinar h(y) usando \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N.
Calcule a derivada de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}= \frac{d}{dy}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr)+\frac{d}{dy}\bigl(x y^{-1}\bigr)+h'(y)=0 - x y^{-2}+h'(y).
Isso deve ser igual a \tilde N=-x y^{-2}. Assim
-x y^{-2}+h'(y)=-x y^{-2}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante; absorvemos essa constante em C na solução implícita final.

Passo 10

Escrever a solução implícita geral.
Da expressão de \Phi temos a constante de integração:
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{y}=C.
Podemos reescrever multiplicando por 2 se quisermos:
x^{2}+\frac{2x}{y}=C',
com C'=2C. Ambas formas são equivalentes.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{y}=C

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