EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+2 y=e^{2 x}+\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy não homogênea
x^{2}y''+3x\,y'+2y = e^{2x} + \sin(x),
que é uma ED de coeficientes variáveis do tipo x^2y''+ax\,y'+by. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois aplicar o método de variáveis paramétricas para obter uma particular.

Passo 2

Para a homogênea
x^{2}y''+3x\,y'+2y=0
usamos o polinômio característico r(r-1)+3r+2=0, ou seja
r^{2}+2r+2=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm i.
Logo duas soluções independentes são
y_{1}(x)=x^{-1}\cos\!\bigl(\ln x\bigr), \qquad y_{2}(x)=x^{-1}\sin\!\bigl(\ln x\bigr),
e a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x).

Passo 3

No método de variação de parâmetros, buscamos
y_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde
u_{1}'(x)=-\frac{f(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\quad u_{2}'(x)=\frac{f(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
com f(x)=(e^{2x}+\sin x)/x^{2} e W o Wronskiano de y_{1},y_{2}.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(x) =\begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} =x^{-3}.
(O cálculo mostra W(x)=x^{-3} de forma direta.)

Passo 5

Então
u_{1}'(x) =-\frac{e^{2x}+\sin x}{x^{2}}\;y_{2}(x)\;\bigl/x^{-3} =-(e^{2x}+\sin x)\,\sin(\ln x),
u_{2}'(x) =\frac{e^{2x}+\sin x}{x^{2}}\;y_{1}(x)\;\bigl/x^{-3} =(e^{2x}+\sin x)\,\cos(\ln x).

Passo 6

Integramos para obter
u_{1}(x)=-\int\!(e^{2x}+\sin x)\,\sin(\ln x)\,dx, \quad u_{2}(x)=\int\!(e^{2x}+\sin x)\,\cos(\ln x)\,dx.
Finalmente a solução particular fica
y_{p}(x) =y_{1}(x)\,u_{1}(x)+y_{2}(x)\,u_{2}(x).

Resposta

A solução geral é
y(x) =C_{1}\,x^{-1}\cos\!\bigl(\ln x\bigr) +C_{2}\,x^{-1}\sin\!\bigl(\ln x\bigr) +x^{-1}\cos\!\bigl(\ln x\bigr)\!\biggl[-\int\!(e^{2x}+\sin x)\sin(\ln x)\,dx\biggr] +x^{-1}\sin\!\bigl(\ln x\bigr)\!\biggl[\int\!(e^{2x}+\sin x)\cos(\ln x)\,dx\biggr].

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