EDOS de Euler-Cauchy
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não‐homogênea do tipo Euler–Cauchy
e pede a solução geral.
Conteúdo: EDOS de Euler–Cauchy e método de variação de parâmetros (para a parte particular).
Conteúdo: EDOS de Euler–Cauchy e método de variação de parâmetros (para a parte particular).
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada
Num Euler–Cauchy supomos
. Substituindo:
A equação característica é
cuja raiz complexa dupla é
Passo 3
Da teoria de Euler–Cauchy, como as raízes são
com
,
, a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para achar uma solução particular
, usamos variação de parâmetros. Primeiro reescrevemos a ED no padrão
Denotemos as duas soluções lineares independentes da homogênea:
Passo 5
O Wronskiano é
Um cálculo direto (ou uso da fórmula para Euler–Cauchy) mostra
Pela variação de parâmetros,
Aqui
]
Passo 6
Substituindo em cada integral obtemos explicitamente
Cada uma destas integrais pode ser resolvida por integração por partes, gerando expressões em termos de
,
,
e potências de
.
Resposta
A solução geral é
onde
é dado pelas integrais de variação de parâmetros acima.