EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+3 y=x^{2} \sin (x)+e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não‐homogênea do tipo Euler–Cauchy
x^{2}y'' +4x\,y' +3y = x^{2}\sin(x)+e^{x},
e pede a solução geral.
Conteúdo: EDOS de Euler–Cauchy e método de variação de parâmetros (para a parte particular).

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada
x^{2}y'' +4x\,y' +3y =0.
Num Euler–Cauchy supomos y=x^{m}. Substituindo:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} +4x\cdot m x^{m-1}+3x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[m(m-1)+4m+3\bigr]x^{m}=0.
A equação característica é
m^{2}+3m+3=0,
cuja raiz complexa dupla é
m = \frac{-3\pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Da teoria de Euler–Cauchy, como as raízes são m=a\pm ib com a=-\tfrac32, b=\tfrac{\sqrt3}{2}, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = x^{a}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(b\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(b\ln x\bigr)\Bigr) = x^{-\tfrac32}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr)\Bigr).

Passo 4

Para achar uma solução particular y_{p}(x), usamos variação de parâmetros. Primeiro reescrevemos a ED no padrão
y'' + \frac{4}{x}y' + \frac{3}{x^{2}}y = \underbrace{\frac{x^{2}\sin x + e^{x}}{x^{2}}}_{f(x)}.
Denotemos as duas soluções lineares independentes da homogênea:
y_{1}(x)=x^{-3/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr), \quad y_{2}(x)=x^{-3/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr).

Passo 5

O Wronskiano é
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix}.
Um cálculo direto (ou uso da fórmula para Euler–Cauchy) mostra
W(x)=\frac{\sqrt3}{2}\,x^{-3}.
Pela variação de parâmetros,
y_{p}(x) = -y_{1}(x)\int \!y_{2}(x)\,\frac{f(x)}{W(x)}\,dx + y_{2}(x)\int \!y_{1}(x)\,\frac{f(x)}{W(x)}\,dx.
Aqui f(x)=\bigl(x^{2}\sin x + e^{x}\bigr)/x^{2}.]

Passo 6

Substituindo em cada integral obtemos explicitamente
y_{p}(x) = -x^{-\tfrac32}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\Bigr) \int x^{3}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\Bigr)\,\frac{x^{2}\sin x + e^{x}}{x^{2}} \,dx
\hspace{30mm} +\,x^{-\tfrac32}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\Bigr) \int x^{3}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\Bigr)\,\frac{x^{2}\sin x + e^{x}}{x^{2}} \,dx.
Cada uma destas integrais pode ser resolvida por integração por partes, gerando expressões em termos de \sin x, \cos x, e^{x} e potências de x.

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = x^{-\tfrac32}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr)\Bigr) + y_{p}(x), }
onde y_{p}(x) é dado pelas integrais de variação de parâmetros acima.

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