EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''+4x\,y'+3y=0,
que é uma ED ordinária de 2.º ordem com coeficientes variáveis do tipo x^{2}y''+ax\,y'+by=0. Vamos usar o ansatz típico y=x^{r}.

Passo 2

Assumindo y=x^{r}, calculamos as derivadas:
y'=r\,x^{r-1},
y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr]+4x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]+3\,x^{r}=0
simplifica para
\bigl[r(r-1)+4r+3\bigr]x^{r}=0.

Passo 3

A parte entre colchetes dá a equação característica (indicial):
r(r-1)+4r+3=0 \;\;\Longrightarrow\;\; r^{2}+3r+3=0.

Passo 4

Resolvendo
r^{2}+3r+3=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-3\pm\sqrt{9-12}}{2} =\frac{-3\pm i\sqrt{3}}{2} =\alpha\pm i\beta
com \alpha=-\tfrac32 e \beta=\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta na equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x)=x^{\alpha}\Bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\Bigr).

Resposta

y(x)=x^{-\frac32}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\ln x\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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